Fie $M=\{A_1,A_2,...,A_5\}$ o multime de puncte in plan astfel incat aria oricarui triunghi cu varfurile in $M$ sa fie de arie mai mare decat $3$. Demonstrati ca exista un triunghi cu varfurile in $M$ cu aria mai mare decat $4$.
Laurentiu Panaitopol
Test Selectie Bucuresti 1991
-
Bogoşel Beniamin
- Mesaje: 90
- Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm
- Contact:
Re: Test Selectie Bucuresti 1991
O problema asemanatoare (tot a domnului Panaitopol) este urmatoarea (data la al patrulea test de selectie pt juniori in 2002):Fie 5 puncte in plan, astfel incat aria oricarui triunghi format din 3 dintre punctele multimii are aria cel putin 2. Aratati ca exista un triunghi de arie cel putin 3 format din puncte din aceasta multime.
Un rezultat general, care trivializeaza cele 2 probleme, este problema G5 din IMO ISL 2002: Fie $S$ o multime de 5 puncte in plan, oricare 3 necoliniare. Fie $M(S)$ si $m(S)$ aria cea mai mare, respectiv cea mai mica, a unui triunghi cu varfurile in multimea $S$. Determinati valoarea minima a raportului $\frac{M(S)}{m(S)}$.
Un rezultat general, care trivializeaza cele 2 probleme, este problema G5 din IMO ISL 2002: Fie $S$ o multime de 5 puncte in plan, oricare 3 necoliniare. Fie $M(S)$ si $m(S)$ aria cea mai mare, respectiv cea mai mica, a unui triunghi cu varfurile in multimea $S$. Determinati valoarea minima a raportului $\frac{M(S)}{m(S)}$.