Determinare de numere
-
mathmaster
- Mesaje: 60
- Membru din: Vin Mar 23, 2012 8:37 am
Determinare de numere
Adaptare a undei probleme data de L. Panaitopol la Baraj, Testul II, Timisoara, 1987
- Fişiere ataşate
-
- Nr. natural.zip
- (45.99 KiB) Descărcat de 511 ori
-
Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: Determinare de numere
Pentru $n=1$, numărul dat este natural. Voi demonstra că aceasta este singura valoare a lui $n$ pentru care numărul este natural.
Presupunem că există $n>1$ pentru care $n\mid 3^n-2^n$. Fie $p$ divizorul prim minim al lui $n$. Evident $p>3$.
Fie $a\in \Bbb{N^*}$ a.î. $2a\equiv 1\ (mod\ p)$. Deoarece $2^n\equiv 3^n\ (mod\ p)$, avem $(3a)^n\equiv 1\ (mod\ p)$.
Fie $\gamma_p(3a)=k$, de unde $k\mid p-1\Rightarrow k\le p-1$ și $k\mid n$. Cum $k<p$ și $k\mid n$, trebuie să avem $k=1$ datorită minimalității lui $p$.
Așadar $3a\equiv 1\ (mod\ p)$, iar cum $2a\equiv 1\ (mod\ p)$, trebuie să avem $a\equiv 0\ (mod\ p)$, urmând contradicția $1\equiv 0\ (mod\ p)$.
Prin urmare, singurul număr $n$ cu proprietatea din ipoteză este $1$.
Presupunem că există $n>1$ pentru care $n\mid 3^n-2^n$. Fie $p$ divizorul prim minim al lui $n$. Evident $p>3$.
Fie $a\in \Bbb{N^*}$ a.î. $2a\equiv 1\ (mod\ p)$. Deoarece $2^n\equiv 3^n\ (mod\ p)$, avem $(3a)^n\equiv 1\ (mod\ p)$.
Fie $\gamma_p(3a)=k$, de unde $k\mid p-1\Rightarrow k\le p-1$ și $k\mid n$. Cum $k<p$ și $k\mid n$, trebuie să avem $k=1$ datorită minimalității lui $p$.
Așadar $3a\equiv 1\ (mod\ p)$, iar cum $2a\equiv 1\ (mod\ p)$, trebuie să avem $a\equiv 0\ (mod\ p)$, urmând contradicția $1\equiv 0\ (mod\ p)$.
Prin urmare, singurul număr $n$ cu proprietatea din ipoteză este $1$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.