Se consideră un patrulater convex $ABCD$ și punctele $M\in(BC)$, $N\in(CD)$, astfel încât $\dfrac{CM}{MB}=3$ și $\dfrac{CN}{ND}=2$. Notăm cu $P$ intersecția dreptelor $AM$ și $BN$. Să se arate că: $\dfrac{AP}{PM}=6$ și $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}$ dacă și numai dacă $ABCD$ este un paralelogram.
Laurențiu Panaitopol
Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
-
- Mesaje: 32
- Membru din: Mar Mai 03, 2011 9:00 pm
- Localitate: Târgu Jiu
-
- Mesaje: 94
- Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
- Localitate: Craiova
Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=-w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=-w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11
Ultima oară modificat Mie Aug 24, 2011 7:42 pm de către Calota Dragos, modificat 1 dată în total.
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
Altfel: Fie $BN\cap AD=\{T\}$ și $AM\cap CD=\{S\}$.
=> $P,M,S$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle BCN$ avem $\dfrac{BP}{NP}\cdot \dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{CM}{BM}=1$ <=> $\dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot 3=1$ <=> $\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{2}{9}$, dar $\dfrac{DN}{CN}=\dfrac{1}{2}$ => $\dfrac{CD}{CS}=\dfrac{1}{3}$.
$B,M,C$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle PSN$ avem $\dfrac{NB}{PB}\cdot \dfrac{SC}{NC}\cdot \dfrac{PM}{SM}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}\cdot \dfrac{14}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}=\dfrac{1}{21}$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{1}{3}$.
Din ultimele 2 relații, prin R T lui Thales => $\boxed{AD\parallel BC}$.
Din demonstrație $\dfrac{SM}{PM}=21$ => $\dfrac{SP}{PM}=22$, dar $\dfrac{PM}{AP}=\dfrac{1}{6}$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, dar și $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}$, deci $\triangle APB\sim \triangle SPN$ (L.U.L) => $<PAB\equiv <PSC$ (alt. int.) => $\boxed{AB\parallel CD}$.
Deci $ABCD$ e paralelogram.
<= Evident $\triangle BCN\sim \triangle TDN$ (TFA) => $\dfrac{BC}{DT}=\dfrac{CN}{DN}=2$ => $\dfrac{BC}{AT}=\dfrac{2}{3}$, dar $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{4}$ => $\dfrac{AT}{BM}=6$, iar cum $\triangle ATP\sim \triangle MBP$ => $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AT}{BM}=6$.
Evident $\triangle SCM\sim \triangle ABM$ => $\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{CM}{BM}=3$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{PM}{SP}=\dfrac{1}{22}$, dar $\dfrac{AP}{PM}=6$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, iar cum $\triangle ABP\sim \triangle SNP$ => $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$.
=> $P,M,S$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle BCN$ avem $\dfrac{BP}{NP}\cdot \dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{CM}{BM}=1$ <=> $\dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot 3=1$ <=> $\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{2}{9}$, dar $\dfrac{DN}{CN}=\dfrac{1}{2}$ => $\dfrac{CD}{CS}=\dfrac{1}{3}$.
$B,M,C$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle PSN$ avem $\dfrac{NB}{PB}\cdot \dfrac{SC}{NC}\cdot \dfrac{PM}{SM}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}\cdot \dfrac{14}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}=\dfrac{1}{21}$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{1}{3}$.
Din ultimele 2 relații, prin R T lui Thales => $\boxed{AD\parallel BC}$.
Din demonstrație $\dfrac{SM}{PM}=21$ => $\dfrac{SP}{PM}=22$, dar $\dfrac{PM}{AP}=\dfrac{1}{6}$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, dar și $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}$, deci $\triangle APB\sim \triangle SPN$ (L.U.L) => $<PAB\equiv <PSC$ (alt. int.) => $\boxed{AB\parallel CD}$.
Deci $ABCD$ e paralelogram.
<= Evident $\triangle BCN\sim \triangle TDN$ (TFA) => $\dfrac{BC}{DT}=\dfrac{CN}{DN}=2$ => $\dfrac{BC}{AT}=\dfrac{2}{3}$, dar $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{4}$ => $\dfrac{AT}{BM}=6$, iar cum $\triangle ATP\sim \triangle MBP$ => $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AT}{BM}=6$.
Evident $\triangle SCM\sim \triangle ABM$ => $\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{CM}{BM}=3$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{PM}{SP}=\dfrac{1}{22}$, dar $\dfrac{AP}{PM}=6$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, iar cum $\triangle ABP\sim \triangle SNP$ => $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
-
- Mesaje: 32
- Membru din: Mar Mai 03, 2011 9:00 pm
- Localitate: Târgu Jiu
Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
S-a precizat că $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$, dar corect este $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}$, deoarece, după cum s-a precizat, din $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ rezultă $ABDC$ paralelogram, deci o ordine greșită. Rezolvarea este bună, dar ai uitat să pui minus în fața lui $\overrightarrow{w}$ și, deoarece la vectori ordinea contează, ai ajuns la o relație falsă. Totul s-a făcut din neatenție și e bine să fim mai atenți altă dată când dăm o soluție.Calota Dragos scrie:Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11
-
- Mesaje: 94
- Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
- Localitate: Craiova
Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
da, este adevarat am uitat sa pun un minus , totusi rezolvarea ramane valabila 

Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
-
- Mesaje: 244
- Membru din: Sâm Oct 30, 2010 3:55 pm
- Localitate: Bradenton, Florida
Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a
An easy extension. Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Consider the points $M\in(BC)\ ,\ N\in(CD)$ so that $\frac{MB}{MC}=m\ ,$
$\frac{ND}{NC}=n$ . Denote$P\in AM\cap BN$ , $\frac{PA}{PM}=x$ and $\dfrac{PB}{PN}=y$ . Prove that $ABCD$ is a parallelogram $\iff \frac {x+1}{y+1}=\frac {n+1}{y}=\frac {m}{m-y}$ .
$\frac{ND}{NC}=n$ . Denote$P\in AM\cap BN$ , $\frac{PA}{PM}=x$ and $\dfrac{PB}{PN}=y$ . Prove that $ABCD$ is a parallelogram $\iff \frac {x+1}{y+1}=\frac {n+1}{y}=\frac {m}{m-y}$ .