Fie $p,q$ numere prime, cu $q>5$. Sa se arate ca daca $q | 2^p+3^p$ atunci $q>p$.
Laurentiu Panaitopol
Test Selectie Bucuresti 1990
-
- Mesaje: 90
- Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm
- Contact:
Re: Test Selectie Bucuresti 1990
Se poate arata ca $q\geq 2p+1$. Din ipoteza obtinem ca $(\frac{2}{3})^p\equiv -1 \ (mod\ q)$. Atunci $ord_q(\frac{2}{3})$ este divizor al lui $2p$, bineinteles diferit de $p$. Daca este diferit de $2p$, atunci el este $1$ sau $2$, cazuri care sunt in contradictie cu ipoteza $q>5$. Atunci $ord_q(\frac{2}{3})=2p$. Dar $ord_q(\frac{2}{3})|q-1$,deci $2p| q-1$. Atunci $q\geq 2p+1$.