Inegalitate conditionata

[mircea.lascu]

Sa se demonstreze ca daca $a,b,c>0$ si $abc=1$, atunci
$$a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2ca}{c^{2}+a^{2}}\geq 6.$$

[Doru Damian]

Rescriu inegalitatea in forma $(a^3+b^3+c^3-a^2-b^2-c^2)+(\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{c^2+a^2}{2}+\dfrac{2ab}{a^2+b^2}+\dfrac{2bc}{b^2+c^2}+\dfrac{2ca}{c^2+a^2})\ge 6$ si arat ca prima paranteza e pozitiva, iar a doua mai mare sau egala cu 6.
Pentru prima parte, din Cebisev si medii, $3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 3\sqrt[3]{abc}\cdot(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$, iar apoi mai impartim printr-un 3. Dupa aplicarea inegalitatii mediior pentru 6 numere, gasim ca a doua paranteza este $\ge 6\sqrt[6]{a^2b^2c^2}=6$. Deci inegalitatea are loc, cu egalitate $\Leftrightarrow a=b=c=1$.