o ecuatie diofantica..

[mihai miculita]

Aratati ca ecuatia urmatoare: $m^2-3m=n^2-5n+7$, nu are solutii in multimea numerelor intregi.

[mihai miculita]

SOLUTIE: Avem: $m^2-3m=n^2-5n+7|.4\Rightarrow 4m^2-12m=4n^2-20n+28\Rightarrow 4m^2-12m+9=4n^2-20n+37\Rightarrow$
$\Rightarrow (2m-3)^2=(2n-5)^2+12\Rightarrow (2m-3)^2-(2n-5)^2=12\Rightarrow (2m-2n+2)(2m+2n-8)=12\Rightarrow$
$\Rightarrow 4(m-n+1)(m+n-4)=12|:4\Rightarrow\boxed{ (m-n+1)(m+n-4)=3}.$ (1)
Insa cum: $(m-n)+(m+n)=2m$(nr.par) $\Rightarrow$ numerele $m-n$ si $m+n$ sunt de aceeasi paritate $\Rightarrow$ numerele $m-n+1$ si $m+n-4$
sunt de parttati diferite, asa ca: $(m-n+1)(m+n-4)-$este un numar par, iar membrul drept al ecuatiei (1) este $3$(un mumar impar!).
Asa ca ecuatia (1) nu poate avea solutii in multimea numerelor intregi!