O problema veche a lui Van AUBEL

[mihai miculita]

Pe laturile unui triunghi oarecare $ABC$ construim triunghiurile: $\Delta{BCD}\sim\Delta{ACE}\sim\Delta{BAF},$astfel incat triunghiul punctele $D$ si $A$ se se gseasca de aceeasi parte a dreptei $BC;$ iar triunghiurile $ACE$ si $BAF$ sa se gaseasca in afara triunghiului $ABC.$ Aratati ca punctele $A,D,E$ si $F$ sunt varfurile unui paralelogram sau sunt 4 puncte coliniare! (MATHESIS, 1881, pag.118, problema 55)

[tudordarius]

Lema
Daca ABCD este un patrulater convex cu m(<A)+m(<D)=180 atunci AB este paralela cu CD (demonstratia este triviala)
Din moment ce E nu se poate afla pe AC deoarece altfel triunghiul ACE ar fi unul degenerat, iar din faptul ca ACE este in afara lui ABC rezulta ca E nu poate fi pe BC, Deci E este pe AB si analog rezulta ca D este pe AC iar F pe BC
Din asemanarile din enunt(*) rezulta ca <AFB si <BDA sunt congruente deci ADFB este inscriptibil si analog BDEC este inscriptibil (**)
notand m(<BAC)=x rezulta ca m(<FAB)=m(<AED) [din (*),respectiv (**)] deci m(<EAF)+m(<DEA)=180 deci DE este paralela cu AF(3)
Din (**) rezulta ca m(<ABD)=m(<ECD)=x, iar apoi m(<DFA)=m(<DBA)=x => m(<DFA)+m(<FAE)=180 => DF este paralela cu AE (4)
din 3 si 4 => ori DE si AF coincid <=> A,E,D,F coliniare, ori ele nu coincid si atunci AFDE este paralelogram
QED