Divizibilitate prin 7

[Viran Mihnea]

Fie x si y numere naturale astfel încât numerele 2015x-6y și 2015y-6x să fie divizbile prin 7. Arătați că x și y sunt multipli ai lui 7.

Soluția mea:
Fie două numere naturale a și b astfel încât $2015x-6y=a^2$ (1) și $2015y-6x=b^2$ (2). Adun relațiile și obțin $2009(x+y)=a^2+b^2$. Din $2009\mid a^2+b^2$ vom avea $2009\mid a$ (3) și $2009\mid b$ (4). Deci $a=2009k_1$ și $b=2009k_2$ unde $k_1,k_2\in{N}$. Așadar $2009(x+y)=2009^2 k_1^2+2009^2 k_2^2$ $\leftrightarrow x+y=2009k_1^2+2009k_2^2\Rightarrow x+y=2009(k_1^2+k_2^2)$. Până la urmă $2009\mid x+y$. Luând (1) și (3) sau (2) și (4) vom avea $2009\mid x-y$.

$2009\mid x-y;2009\mid x+y\Rightarrow 2009\mid 2x$. Cum numerele 2009 și 2 sunt prime între ele vom avea $2009\mid x$. De aici vom avea și $2009\mid y$. Cum $2009=49*41$ avem concluzia.

O fi bine?

[DanDumitrescu]

La aceasta problema trebuie sa utilizezi congruență modulo 7 si anume 2015=7•288-1 iar 6=7-1 si pentru a fi respectata condiția problemei trebuie sa ai -x+y divizibilitate cu 7 si
-y+x divizibilitate cu 7.Apoi se verifica următoarele idei:
Dacă x da restul 1 la împărțirea cu 7 din 2 reiese ca y da 6 dar înlocuind in 2 ne da ca 7 divide pe -5(F)
Merge tot așa si ajungi la faptul ca numai dacă x si y sunt multipli de 7 da corect

[Viran Mihnea]

La aceasta problema trebuie sa utilizezi congruență modulo 7 si anume 2015=7•288-1 iar 6=7-1 si pentru a fi respectata condiția problemei trebuie sa ai -x+y divizibilitate cu 7 si
-y+x divizibilitate cu 7

Și eu am ajuns la o concluzie de acest gen.
Demonstrație:

Orice pătrat perfect are resturile 4,2,1 sau 0 la împărțirea cu 7. Cu notațiile și observațiile de mai înainte luăm următoarele cazuri:
Caz 1: $a^2\equiv4 (mod 7)$. Atunci $-x+y\equiv4 (mod7)$ din (1). Înlocuind în (2) și efectuând calculele vom avea:$b^2\equiv3 (mod 7)$, fals.
Caz 2: $a^2\equiv2 (mod 7)$. Vom avea $-x+y\equiv2 (mod 7)$. Înlocuind în (2) și după calcule vom avea $b^2\equiv5 (mod 7)$, fals.
Caz 3: $a^2\equiv1 (mod 7)$. Vom avea $-x+y\equiv1 (mod7)$. Vom avea $b^2\equiv6 (mod 7)$, fals.
Deci, a este divizibil prin 7, prin urmare și b este divizibil prin 7. Atunci $2015x\equiv6y (mod 7)$ și $2015y\equiv6x (mod 7)$. Scăzând relațiile avem $2015(x-y)\equiv6(y-x) (mod 7)\leftrightarrow 2015(x-y)\equiv-6(x-y) (mod 7)$. Atunci $2021(x-y)\equiv0 (mod 7)$. Cum numerele 7 și 2021 sunt prime între ele, vom avea $7\mid x-y$.
De aici cum continui?

Totuși prima mea soluție este bună, așa este?

[DanDumitrescu]

Nu este neaparat ca acele numere sa fie pătrate perfecte.Asta nu scrie nicăieri.De exemplu x=y=7 nu da ca cele 2 numere sunt pătrate perfecte.

[Viran Mihnea]

Mă refeream la a și b. Scuzați că nu am pus.

[math111]

La aceasta problema trebuie sa utilizezi congruență modulo 7 si anume 2015=7•288-1 iar 6=7-1 si pentru a fi respectata condiția problemei trebuie sa ai -x+y divizibilitate cu 7 si
-y+x divizibilitate cu 7.Apoi se verifica următoarele idei:
Dacă x da restul 1 la împărțirea cu 7 din 2 reiese ca y da 6 dar înlocuind in 2 ne da ca 7 divide pe -5(F)
Merge tot așa si ajungi la faptul ca numai dacă x si y sunt multipli de 7 da corect

Pai daca $7|x+y$ si $7|x-y \Rightarrow 7|(x+y)+(x-y)=2x \Rightarrow 7|x$ si $7|(x+y)-(x-y)=2y \Rightarrow 7|y$.Gata!