JBMO 2015 Problema 2

[Doctor Gil]

Fie $a,b,c$ numere reale pozitive astfel incat $a+b+c=3$. Determinati valoarea minima a expresiei.

$A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}$

[math111]

$\sum{\dfrac{2-a^3}{a}}=\sum{\dfrac{2}{a}}-\sum{a^2} \ge 2\cdot \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}-\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3.$

[Paul Tirlisan]

Este corect $-\sum a^2\geq -\frac{(a+b+c)^2}{3}$ ??
Cred ca semnul este invers...

[Viran Mihnea]

Este corect -\sum a^2\geq -\frac{(a+b+c)^2}{3} ??

Din C.B.S avem $(a^2+b^2+c^2)*3\ge (a+b+c)^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}$. Înmulțim cu -1 și vom avea $-(a^2+b^2+c^2)\le-\frac{(a+b+c)^2}{3}$. Ce ai spus tu, Paul nu este prea bine. Totuși te felicit pentru rezultatul de la Olimpiada Balcanică de Matematică din Serbia.


Acum o să pun varianta mea de rezolvare.
Din ipoteză avem a+b+c=3, deci a+b+c-1=2
Înlocuiesc și voi avea $A=\frac{a+b+c-1-a^3}{a}+\frac{a+b+c-1-b^3}{b}+\frac{a+b+c-1-c^3}{c}$
$A=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2+b^2+c^2)$.
Știm că $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$ $\forall x;y\in\mathbb{R}_+$
Deci $\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\ge 2+2+2\Rightarrow\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\ge 6$.
Acum vom aplica varianta Titu Andreescu:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3$.
Din C.B.S avem $a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$
În final $3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\ge 9$ (1)
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2+b^2+c^2\ge 6$ (2)
Scădem relațiile (1) și (2) și obținem $A\ge 3$, deci minimul căutat este 3 atunci când a=b=c=1

Dacă vedeți vreo greșeală să-mi spuneți.

[Moldovan Bogdan]

Nu ai voie sa scazi inegalitati deoarece avem contraexemplul:5>4 si 5>-5 care scazand ne da ca 0>9.
Inegalitatea este pretabila pentru "Metoda multiplicatorilor lui Lagrange" care aplicata corect depaseste nivelul de liceu.(revin)

[Viran Mihnea]

Nu ai voie sa scazi inegalitati deoarece avem avem contraexemplul:5>4 si 5>-5 care scazand ne da ca 0>9

Înțeleg acest lucru, dar aici nu am folosit numere negative.

[Moldovan Bogdan]

Pai scaderea este adunarea cu numere negative:alt contraexemplu: 5>4 si 5>3 daca le scazi obtii:0>1

[Viran Mihnea]

Am încercat și eu să dau o soluție la o problemă de concurs unde eu nu am fost .

[Moldovan Bogdan]

Nu trebuie sa te dezamagesti.Din esecuri inveti mai mult decat din succese.Continua lupta si nu face aceeasi gresala de 2 ori.

[Andi Brojbeanu]

Solutia mea:
Avem $\displaystyle A=\sum \frac{2}{a}-\sum a^2=\sum \frac{2}{a}-(\sum a)^2+2\sum{bc}$$\displaystyle =2\sum bc (\frac {1}{abc}+1)-9\ge 2\sum bc\cdot 2\sqrt{\frac{1}{abc}}-9$$\displaystyle =4\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^2}{abc(a+b+c)}}-9\ge 4\cdot 3-9=3\Rightarrow min A=3$.