Identitate conditionata 2

[mihai miculita]

Aratati ca: $\left\begin{array}{c}\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\\ \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\end{array}\right\}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1;(\forall)a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}^*.$

[math111]

Daca notam $\dfrac{x}{a}=u; \dfrac{y}{b}=v ; \dfrac{z}{c}=w$ , conditiile devin: $u+v+w=1, \dfrac{1}{u} +\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{w}=0$. Deci trebuie sa demonstram ca $u^2+v^2+w^2=1$, dar asta este evident tinand cont ca $2(uv+vw+wu)=0$.

[mihai miculita]

Nu stiu de ce nu detaliati solutia?
Eu sunt profesor si dau la inceput doar indicatii, fiindca astept ca solutia sa vina din partea elevilor.
Dupa ce vad ca o anumita problema a primit deja o solutie, iar solutia mea este diferita de solutiile date deja dau si eu solutia mea completa!

Intr-adevar, folosind notatiile lui math 111, avem: $0=\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{w}=\dfrac{vw+uw+uv}{uvw}\Rightarrow uv+uw+vw=0.$

Asa ca: $u^2+v^2+w^2=(u+v+w)^2-2(uv+uw+vw)=1^2-2.0=1.$

[math111]

Cautand de forum probleme,am gasit http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=16&t=659 .