$10.1$ Fie $a,b,c,m$ - numere reale pozitive ce satisfac $a>m,b>m,c>m$.Să se demonstreze,că $\dfrac{a^2}{b-m}+\dfrac{b^2}{c-m}+\dfrac{c^2}{a-m} \ge 12m$.
$10.2$ Să se rezolve ecuația $\dfrac{1}{13x}+\dfrac{1}{31y}=\dfrac{1}{2015}$.
$10.3$ Fie $AB$ diametrul cercului $\omega$ cu centrul în $O$ și $OC$ o rază perpendiculară de $AB$,iar $M$ un punct din interiorul segmentului $OC$.Fie $N$ cel de al doilea punct de intersecție al dreptei $AM$ cu $\omega$,iar $P$ punctul de intersecție al tangentelor la $\omega$ duse prin $N$ și $B$.
$10.4$ În interiorul unui cerc în $O$ sunt date punctele $A_1,A_2,...,A_{2015}$ astfel că oricare ar fi $i,j,1 \le i<j \le 2015$ punctele $O,A_i,A_j$ sunt necoliniare.Să se demontreze,că există un unghi cu mărimea de $72^{\circ}$ cu vîrful în $O$ în interiorul căruia se află exact $403$ puncte din mulțimea $\{A_1,A_2,...,A_{2015}\}$.
ORM 2015,clasa a 10-a,ziua 1
Mergi la
- Concurs de Matematica MathTime
- Problema zilei
- Discutii pe clase
- ↳ Clasa a V-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VIII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a IX-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a X-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- Juniori II
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Juniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- EGMO
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Seniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Probleme marca "Panaitopol"
- Tabara MathTime
- ↳ Juniori
- ↳ Seniori
- Teme pentru cercurile de elevi
- Olimpiada de Matematica
- ↳ Judeteana
- ↳ Nationala
- Resurse
- ↳ Olimpiada Internationala de Matematica
- ↳ Olimpiada Balcanica de Matematica
- ↳ Teste de Selectie Seniori
- ↳ Olimpiada Balcanica pentru Juniori
- ↳ Teste de Selectie Juniori
- ↳ Olimpiada Nationala de Matematica
- ↳ Olimpiade Locale
- ↳ Alte concursuri
- Chat de voie
- Recenzii la carti
- Revista
- LaTeX
- In memoriam