ORM 2015,clasa a 9-a,ziua 1

[ghenghea1]

$9.1$ Să se determine numerele naturale $N$,astfel încât $N-1$ să se dividă cu $19$,iar $N+1$ să se dividă cu $32$.Scriind aceste numere în ordine crescătoare,să se afle al patrulea termen din acest șir.

$9.2$ Să se arate,că oricare ar fi numerele reale $a$ și $b$,mulțimea valorilor funcției $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x^2+x+1}$ nu poate coincide cu intervalul $[-1,1]$.

$9.3$ Fie $ABCD$ un trapez isoscel $(CD<AB)$,în care $AD=DC=BC$ și $m(\angle A)=40^{\circ}$.Pe semidreapta $(AD$ se consideră punctul $E$ astfel că $D \in (AE)$ și $DE=AC$.
Să se demonstreze că $EC \perp BD$.

$9.4$ Să se rezolve în numere întregi ecuația $(4m+1)x^2-(4n-1)y^2=2015$,unde parametrii $m,n$ sunt întregi.

[sunken rock]

Pr. 9.3 : $\triangle BED$ is equilateral, $CD=BC$, done.

Best regards,
sunken rock

[gigelmarga]

9.1. Al patrulea e 2015, bineînţeles

[Virgil Nicula]

Să se determine numerele naturale $N$, astfel încât $N$ impartit la $19$ sa dea rest 1 si numarul $N+1$ să se dividă cu $32$.
Scriind aceste numere în ordinea crescătoare, să se afle cel de-al patrulea termen al acestui șir. Raspuns : 2015 - VN

Proof. $N=19x+1=32y-1\implies$ $19x-32y=-2\implies$ $\left\{\begin{array}{ccc} x=32k+10\\\\ y=19k+6\end{array}\right\|$ $\implies N=608k+191$

where $k\in\mathbb N$. In concluzie,pentru $k=3$ se obtine $N=608\cdot 3+191 \implies N=2015$ .