exponenti
exponenti
Dacă $a_1,a_2,...a_n$ sunt numere strict pozitive,arătați că $\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^{a_i}\right)^n \ge \left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} {a_i}\right)^{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{n}$.
Ultima oară modificat Mie Mar 25, 2015 10:22 pm de către ghenghea1, modificat de 3 ori în total.
Liceul Teoretic Cobani
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: exponenti
Inegalitatea acesta este gresita.Un contraexemplu este $n=3,a_1=a_2=a_3=2$.
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: exponenti
Acum cred ca este corecta inegalitatea...ghenghea1 scrie:Dacă $a_1,a_2,...a_n$ sunt numere strict pozitive,arătați că $\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^{a_i}\right)^n \ge \left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} {a_i}\right)^{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{n}$.
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: exponenti
Din AM-GM avem $\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^{a_i}\right)^n\ge n^n\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\ge\prod_{i=1}^{n}a_i^{a_i}$,deci este de ajuns sa demonstram ca $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i^{a_i}\ge\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} {a_i}\right)^{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{n}$.De aici nu mai este greu.ghenghea1 scrie:Dacă $a_1,a_2,...a_n$ sunt numere strict pozitive,arătați că $\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^{a_i}\right)^n \ge \left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} {a_i}\right)^{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{n}$.