O problema de colorare
-
DanDumitrescu
- Mesaje: 108
- Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm
O problema de colorare
Toate varfurile unui pentagon convex sunt puncte laticeale,iar laturile sale au lungimi numere intregi.Demonstrati ca perimetrul sau este par.
Liceul National Alexandru Lahovari
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: O problema de colorare
Problema de colorare?Mai degraba problema de paritate!
Fie $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4),(x_5,y_5)$,$,x_i,y_i\in\mathbb{Z},\forall i\in\{1,2,3,4,5\}$coordonatele varfurilor pentagonului(punctele $(x_i,y_i)$ si $(x_{i+1},y_{i+1})$($(x_6,y_6)=(x_1,y_1)$) sunt varfuri consecutive ale pentagonului) si $t_1,t_2,t_3,t_4,t_5\in\mathbb{Z}$ lungimile laturilor pentagonului.
Avem $(x_i-x_{i+1})^2+(y_i-y_{i+1})^2=t_i^2$,deci $t_i\equiv x_i-x_{i+1}+y_i-y_{i+1}(mod 2)$.De aici obtinem $t_1+t_2+t_3+t_4+t_5\equiv (x_1-x_2)+(y_1-y_2)+$$(x_2-x_3)+(y_2-y_3)+$$(x_3-x_4)+(y_3-y_4)+$$(x_4-x_5)+(y_4-y_5)+$$(x_5-x_1)+(y_5-y_1)\equiv 0(mod 2)$,de unde obtinem ca perimetrul pentagonului este par,ceea ce trebuia demonstrat.
Fie $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4),(x_5,y_5)$,$,x_i,y_i\in\mathbb{Z},\forall i\in\{1,2,3,4,5\}$coordonatele varfurilor pentagonului(punctele $(x_i,y_i)$ si $(x_{i+1},y_{i+1})$($(x_6,y_6)=(x_1,y_1)$) sunt varfuri consecutive ale pentagonului) si $t_1,t_2,t_3,t_4,t_5\in\mathbb{Z}$ lungimile laturilor pentagonului.
Avem $(x_i-x_{i+1})^2+(y_i-y_{i+1})^2=t_i^2$,deci $t_i\equiv x_i-x_{i+1}+y_i-y_{i+1}(mod 2)$.De aici obtinem $t_1+t_2+t_3+t_4+t_5\equiv (x_1-x_2)+(y_1-y_2)+$$(x_2-x_3)+(y_2-y_3)+$$(x_3-x_4)+(y_3-y_4)+$$(x_4-x_5)+(y_4-y_5)+$$(x_5-x_1)+(y_5-y_1)\equiv 0(mod 2)$,de unde obtinem ca perimetrul pentagonului este par,ceea ce trebuia demonstrat.