olimpiada municipala 2015,clasa 9, ex.4 Moldova

[ghenghea1]

Aratati ca,daca $a,b,c\in \mathbb{R}_+$,atunci $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 9$.
Solutie:Din $AM-GM$ avem $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ si $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$.

[dangerous storm]

Alta solutie:Din C-B-S avem $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$.De aici cerinta este evidenta.

[ghenghea1]

Soluția 3. Inegalitatea este echivalentă cu $\left( \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} \right) +\left( \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{b} \right) + \left( \dfrac{a}{c} +\dfrac{c}{a} \right)\ge 6$,evident adevărată.