olimpiada municipala 2015,clasa 9 Moldova

[ghenghea1]

Daca $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$,atunci $a=b=c.$
Solutia 1: Vom arata ca $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$.
Fie $f(x)=x^2-(b+c)x+b^2+c^2-bc.$
Atunci $\Delta_f=-3(b-c)^2 \leqslant 0$,deci $f(x)\geqslant 0$.Punem x=a si gata.

[DanDumitrescu]

Cred ca x=-a

[ghenghea1]

Cred ca x=-a

nu

[DanDumitrescu]

Da,ai dreptate,nu am fost atent.

[ghenghea1]

Eu n-am fost atent...

[DanDumitrescu]

E corecta relatia pe care ai scris-o.

[ghenghea1]

Solutia 2 :$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$$\Longleftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \Rightarrow a=b=c$.

[ghenghea1]

Soluția 3.$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca \Longleftrightarrow \left( ab+bc+ca \right)^2 \le \left(a^2+b^2+c^2 \right) \left( b^2+c^2+a^2 \right)$.

Soluția 4.$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca \Longleftrightarrow \left(a+b+c\right)^2 \le 3\left(a^2+b^2+c^2\right).$