(a+b+c)^5>...

[Marius Stănean]

$a,b,c\ge 0\Longrightarrow (a+b+c)^5\ge 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)$

[dangerous storm]

Inegaliatea din enunt este omogena,deci putem presupune ca $a+b+c=3$.Atunci trebuie sa demonstram ca $(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\le 9$,ceea ce este doar o simpla consecinta a ultra-cunoscutelor inegalitati $a^2b+b^2c+c^2a\le 3$ si $ab+bc+ca\le \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$.

[Marius Stănean]

$a^2b+b^2c+c^2a\le 3$

daca $c=0,a=2,b=1 \Longrightarrow a^2b+b^2c+c^2a=4>3$

[dangerous storm]

Inegalitatea $a^2b+b^2c+c^2a\le 3$ este adavarata daca $a,b,c> 0$.Daca unul din numerele a,b,c este legal cu 0,atunci inegalitatea din enunt este mult mai simpla.

[ghenghea1]

Din inegalitatea mediilor am avea ca a^2 b+b^2 c+c^2 a≥3∛((abc)^3 )=3abc.

[dangerous storm]

Cine a zis $abc=1$?

[dangerous storm]

Si mai mult,daca $a+b+c=3$,atunci din ineagalitatea mediilor avem $abc\le 1$.

[tudordimitrepopi]

$a^2b+b^2c+c^2a\le 3$

daca $c=0,a=2,b=1 \Longrightarrow a^2b+b^2c+c^2a=4>3$

c=1/100;a =2;b=99/100.

[dangerous storm]

$a^2b+b^2c+c^2a\le 3$

daca $c=0,a=2,b=1 \Longrightarrow a^2b+b^2c+c^2a=4>3$

c=1/100;a =2;b=99/100.

Greseala mea atunci.

[ghenghea1]

HINT: uvw method