functie derivabil

[Dan_Leonte2]

Fie $f:[0,\infty)-> [0,\infty)$ , f derivabila , $f(0)=0$ si $f`(x)= 2*\sqrt{f(x)$. Aflati f.

[Stefan Tudose]

Conditia e echivalenta cu $(\sqrt{f(x)})^\prime=1$, deci $f(x)=(x+c)^2$ si cum $f(0)=0$, conchidem ca $f(x)=x^2$

[Dan_Leonte2]

o mica corectare, Stefan.
Functia $f=0$ verifica evident problema. Cautam functii pt care exista$x_0$ a. i. $f(x_0)>0$. Fie $\alpha =inf\{{x>0 // f(x)>0}\}$. Pentru x>\ alpha avem$t {\in}(\alpha,x)$ pt care $f(t)>0$ si deci $f(x)>0$ , oricare ar fi $x>\alpha$.Apoi rezulta $\sqrt{f(x)}=x+c$, oricare ar fi x>\alpha. Deci f(x) = $\left\{\begin{array}{l}0 , x{\in} (0,\alpha) \\ (x+c)^2 , x\ge\alpha \end{array}\right.$

[Dan_Leonte2]

sau evident putem proceda ca tine, mai simplu, dar tinand cont de precizarile cu $\alpha$

[gigelmarga]

o mica corectare, Stefan.
Functia $f=0$ verifica evident problema. Cautam functii pt care exista$x_0$ a. i. $f(x_0)>0$. Fie $\alpha =inf\{{x>0 // f(x)>0}\}$. Pentru x>\ alpha avem$t {\in}(\alpha,x)$ pt care $f(t)>0$ si deci $f(x)>0$ , oricare ar fi $x>\alpha$.Apoi rezulta $\sqrt{f(x)}=x+c$, oricare ar fi x>\alpha. Deci f(x) = $\left\{\begin{array}{l}0 , x{\in} (0,\alpha) \\ (x+c)^2 , x\ge\alpha \end{array}\right.$

o mică corectare, Dan.
Pentru ca funcţia ta să fie derivabilă, trebuie ca $c=-\alpha$

[Dan_Leonte2]

ups , greseala mea:P