O problema ...

[math4]

Problema O multime $D$ de $n$ drepte din plan are propietatea ca fiecare dreapta a multimii intersecteaza exact $2011$ drepte din $D$ .Determinati $n$.

[DanDumitrescu]

Luam o dreapta d1 care intersecteaza 2011 drepte.Apoi fiecare din aceste drepte intersecteaza 2011 dar o intersecteaza pa d1 deci mai ducem inca 2010 drepte de cele 2011 si tot asa.Vom avea n=1+2011*2010^p,unde p este un numar natural ce reprezinta puterea la care se afla 2010.Sper sa nu fi gresit undeva.

[DanDumitrescu]

Luam o dreapta d1 care intersecteaza 2011 dreptecare le luam .Apoi fiecare din aceste drepte intersecteaza 2011 dar o intersecteaza pa d1 deci mai ducem inca 2010 drepte de cele 2011 si tot asa.Vom avea n=1+2011*2010^p,unde p este un numar natural ce reprezinta puterea la care se afla 2010.Luam cele 2011 drepte initiale paralelel si apoi toate perechile de 2010 drepte le luam paralelel cu celelalte perechi de 2010 ca sa fie respectata ipoteza.Sper sa nu fi gresit undeva.

[dangerous storm]

Cred ca raspunsul $n=1+2011 \cdot 2010^p,p\in \Bbb{N}$ este gersit din moment ce $n=4022$ este de asemenea o solutie.

[dangerous storm]

De asemenea raspunsul $n=1+2011 \cdot 2010^p$ este gersit,deaorece pentru $p\ge 1$ am obtine $n \equiv 1(mod 2)$,dar folosind grafuri am observa ca trebuie neaparat ca $n \equiv 0(mod 2)$.

[DanDumitrescu]

Probabil ca răspunsul meu nu este unic.O sa ma mai gândesc.

[DanDumitrescu]

Când am ajuns la soluția 1+2011*2010^p cu p natural am considerat primele 2011 drepte paralele si apoi prin aceste drepte mai duceam 2010 drepte iar toate aceste perechi de 2010 de drepte le luam tot paralele si tot așa.

[DanDumitrescu]

La aceasta problema trebuie sa ne gandim ca o dreapta intersecteaza doar 2011 alte drepte si cu celelalte este paralela.Sa zicem ca e paralela cu k drepte.Atunci n=2012+k.Luam o alta dreapta, sa zicem dreata a,diferita de d si avem ca acasta este paralela cu n-2012=k drete.Asadar putem forma k+1 grupe de drepte paralele.Deci k+1|n<=>
k+1|k+2012=>k+1|2011,2011 prim=>k este ori 0 ori 2010=>neste 2012 si 4022.
Configuratia de 2012 se atinge de exemplu pentru un poligon convex de 2012 laturi in care nicio latura nu eparalela cu alta.
Pentru n=4022 se obtine atunci cand avem 2011 drepte paralele intersectate de alte 2011 drepte paralele. q.e.d