Beautiful ineq

[Pricope Tidor-Vlad]

Fie $z_1, z_2, z_3$ numere complexe distincte de acelasi modul $R$.
Artati ca $\sum_{cyc} \dfrac{1}{|z_1-z_2||z_1-z_3|} \ge \dfrac{1}{R^2}$.

[Andi Brojbeanu]

Fie $ABC$ un triunghi cu vârfurile de afixe $z_1, z_2, z_3$ și circumcentrul în originea planului complex (astfel încât R să fie valoarea razei cercului circumscirs triunghiului). Avem
$\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{1}{|z_1-z_2||z_1-z_3|}}=\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{1}{AB\cdot AC}}=\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{1}{bc}}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2p}{4pRr}$$\displaystyle=\frac{1}{2Rr}\ge \frac{1}{R^2}$ conform inegalității lui Euler, Q.E.D.