Numerele $a,b,c>0,$ sunt solutiile sistemului: $\left\{\begin{array}{c}a^2+b^2+ab=9\\ a^2+c^2+ac=16\\ b^2+c^2+bc=25.\end{array}\right$
Calculati valoarea expresiei: $ab+ac+bc.$
Numere pozitive...
-
mihai miculita
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
-
Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: Numere pozitive...
Trucul clasic cu punctul lui Torricelli; considerăm un triunghi de laturi $3,4,5,$ împreună cu punctul respectiv, iar expresia dată este aria ori o constantă.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
-
mihai miculita
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
Re: Numere pozitive...
DA, ASTA ESTE IDEEA!!!
1). Fie $T-$un punct arbitrar si semidreptele $[Tx,\,[Ty$ si $[Tz$ astfel incat sa avem:
$m(\widehat{xTy})=m(\widehat{yTz})=m(\widehat{xTz})=120^0,$ luam apoi punctele $A\in[Tx,\,B\in[Ty,\,C\in[Tz;$
pentru care au loc: $|TA|=a,\,|TB|=b$ si $|TC|=c.$ Evident punctul $T$ este punctul lui Torricelli
al triunghiului $ABC,$ astfel construit. In plus, pe baza teoremei cosinusului, avem:
$|AB|^2=|TA|^2+|TB|^2-2.|TA|.|TB|.\cos{\widehat{ATB}}=a^2+b^2+ab=9$$\Rightarrow\boxed{|AB|=3};$
in mod analog, obtinem: $|AC|^2=a^2+c^2+ac=16\Rightarrow\boxed{|AC|=4}$ si $\boxed{|BC|=5}.$
2). Asa ca triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic in $A,$, avem: $S_{ABC}=\dfrac{|AB|.|AC|}{2}=\dfrac{3.4}{2}=6.\,\,(1)$
Pe de alta parte, avem:
$S_{ATB}=\dfrac{|TA|.|TB|.\sin\widehat{ATB}}{2}=$$\dfrac{ab.\sin{120^0}}{2}=\dfrac{ab.\sqrt{3}}{4}$ si analog: $S_{BTC}=\dfrac{bc.\sqrt{3}}{4},\,S_{ATC}=\dfrac{ac.\sqrt{3}}{4}\Rightarrow$
$S_{ABC}=S_{ATB}+S_{BTC}+S_{ATC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.(ab+ac+bc).\,\,(2)$
In fine, din relatiile (1) si (2), obtinem: $\boxed{ab+ac+bc=8\sqrt{3}}.$
1). Fie $T-$un punct arbitrar si semidreptele $[Tx,\,[Ty$ si $[Tz$ astfel incat sa avem:
$m(\widehat{xTy})=m(\widehat{yTz})=m(\widehat{xTz})=120^0,$ luam apoi punctele $A\in[Tx,\,B\in[Ty,\,C\in[Tz;$
pentru care au loc: $|TA|=a,\,|TB|=b$ si $|TC|=c.$ Evident punctul $T$ este punctul lui Torricelli
al triunghiului $ABC,$ astfel construit. In plus, pe baza teoremei cosinusului, avem:
$|AB|^2=|TA|^2+|TB|^2-2.|TA|.|TB|.\cos{\widehat{ATB}}=a^2+b^2+ab=9$$\Rightarrow\boxed{|AB|=3};$
in mod analog, obtinem: $|AC|^2=a^2+c^2+ac=16\Rightarrow\boxed{|AC|=4}$ si $\boxed{|BC|=5}.$
2). Asa ca triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic in $A,$, avem: $S_{ABC}=\dfrac{|AB|.|AC|}{2}=\dfrac{3.4}{2}=6.\,\,(1)$
Pe de alta parte, avem:
$S_{ATB}=\dfrac{|TA|.|TB|.\sin\widehat{ATB}}{2}=$$\dfrac{ab.\sin{120^0}}{2}=\dfrac{ab.\sqrt{3}}{4}$ si analog: $S_{BTC}=\dfrac{bc.\sqrt{3}}{4},\,S_{ATC}=\dfrac{ac.\sqrt{3}}{4}\Rightarrow$
$S_{ABC}=S_{ATB}+S_{BTC}+S_{ATC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.(ab+ac+bc).\,\,(2)$
In fine, din relatiile (1) si (2), obtinem: $\boxed{ab+ac+bc=8\sqrt{3}}.$