Inegalitate x+y+z=\sqrt{2}

[Marius Stănean]

$x,y,z\ge 0,\;x+y+z=\sqrt{2}\Longrightarrow$ $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\ge 2+\dfrac{1}{\sqrt 3}$

[mihaith]

Voi dem urmatoarea lema cu ajutorul careia prob. Se rezolva imediat:
(Nu imi iese in latex)
1/radical din (1+ x patrat) + 1/radical din (1+ y patrat) mai mare sau egal ca [1/radical din (x+y)patrat] +1

Ridic la patrat si va trebui sa arat ca:

1). ( 1+ x patrat)(1+ y patrat) mai mic sau egal ca 1+(x+y)patrat
2). (1/1 +x patrat) +(1/1+ y patrat) mai mare sau eg ca 1+ 1/1+(x+y)patrat
, echivalente cu xy mai mic sau egal ca 1/2 si x+y mai mic sau egal ca (radical din 2)- adv pt ca x+y <=x+y+z=radical din 2.

Aplicam aceasta pentru primii doi termeni, apoi pt cel obtinut si ultimul termen si gata.

Q.E.D