Numerele $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ satisfac conditiile:
$a=\sqrt{4-\sqrt{5-a}};\,b=\sqrt{4+\sqrt{5-b}};\,c=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}$ si $d=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}.$
Calculati produsul: $abcd.$
BRAZILIA, Test de Selectie Lot (Numere reale)
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Re: BRAZILIA, Test de Selectie Lot (Numere reale)
Avem:
1). $\left a=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow a^2=4-\sqrt{5-a}\Leftrightarrow \left\sqrt{5-a}=4-a^2\right|()^2\Leftrightarrow$$5-a=16-8a^2+a^4\Leftrightarrow a^4-8a^2+a+11=0;\,\,(1)$
2). $\left b=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow b^2=4+\sqrt{5-b}\Leftrightarrow \left b^2-4=\sqrt{5-b}\right|()^2\Leftrightarrow$$b^4-8b^2+16=5-b\Leftrightarrow b^4-8b^2+b+11=0;\,\,(2)$
3). $\left c=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow c^2=4-\sqrt{5+c}\Leftrightarrow \left\sqrt{5+c}=4-c^2\right|()^2\Leftrightarrow$$5+c=16-8c^2+c^4\Leftrightarrow c^4-8c^2-c+11=0;\,\,(3)$
3). $\left d=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow d^2=4+\sqrt{5+d}\Leftrightarrow \left d^2-4=\sqrt{5+d}\right|()^2\Leftrightarrow$$d^4-8d^2+16=5+d\Leftrightarrow d^4-8d^2-d+11=0.\,\,(4)$
Asa ca, numerele $a,\,b,\,-c$ si $-d$ sunt radacinile ecuatiei de gradul 4:
$x^4-8x^2+x+11=0\Rightarrow \boxed{abcd=ab.(-c).(-d)=11}.$
1). $\left a=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow a^2=4-\sqrt{5-a}\Leftrightarrow \left\sqrt{5-a}=4-a^2\right|()^2\Leftrightarrow$$5-a=16-8a^2+a^4\Leftrightarrow a^4-8a^2+a+11=0;\,\,(1)$
2). $\left b=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow b^2=4+\sqrt{5-b}\Leftrightarrow \left b^2-4=\sqrt{5-b}\right|()^2\Leftrightarrow$$b^4-8b^2+16=5-b\Leftrightarrow b^4-8b^2+b+11=0;\,\,(2)$
3). $\left c=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow c^2=4-\sqrt{5+c}\Leftrightarrow \left\sqrt{5+c}=4-c^2\right|()^2\Leftrightarrow$$5+c=16-8c^2+c^4\Leftrightarrow c^4-8c^2-c+11=0;\,\,(3)$
3). $\left d=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}\,\righ|()^2\Leftrightarrow d^2=4+\sqrt{5+d}\Leftrightarrow \left d^2-4=\sqrt{5+d}\right|()^2\Leftrightarrow$$d^4-8d^2+16=5+d\Leftrightarrow d^4-8d^2-d+11=0.\,\,(4)$
Asa ca, numerele $a,\,b,\,-c$ si $-d$ sunt radacinile ecuatiei de gradul 4:
$x^4-8x^2+x+11=0\Rightarrow \boxed{abcd=ab.(-c).(-d)=11}.$
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Re: BRAZILIA, Test de Selectie Lot (Numere reale)
See PP17 from here.