Sa se determine perechile de numere (x,y) pentru care are loc relatia:
$\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}+ \dfrac{1}{\sqrt{y}+x}+ \dfrac{1}{\sqrt{xy}+1}$ = $\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+ \dfrac{\sqrt{y}}{y}+ \dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$.
Perechi(x,y)
-
Michi Panaitescu
- Mesaje: 204
- Membru din: Lun Apr 23, 2012 5:53 pm
- Localitate: Bucuresti
Re: Perechi(x,y)
$\dfrac{1}{\sqrt{x}+y} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{\sqrt{y}}{y}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$ $\Leftrightarrow 4xy \leq (\sqrt{x}+y)(x\sqrt{y}+\sqrt{xy})$, adevărat, aplicând inegalitatea mediilor în fiecare paranteză.
Analog, $\dfrac{1}{\sqrt{y}+x} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$
De asemenea, $\dfrac{1}{\sqrt{xy}+1} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{\sqrt{y}}{y})$ $\Leftrightarrow 4xy \leq (\sqrt{xy}+1)(y\sqrt{x}+x\sqrt{y})$, adevărat, aplicând inegalitatea mediilor în fiecare paranteză.
Adunând cele trei inegalităţi, obţinem: $\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+x}+ \dfrac{1}{\sqrt{xy}+1} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+ \dfrac{\sqrt{y}}{y}+ \dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$.
Dar avem chiar egalitate (în ipoteză), deci $x=y=1$.
Analog, $\dfrac{1}{\sqrt{y}+x} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$
De asemenea, $\dfrac{1}{\sqrt{xy}+1} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{\sqrt{y}}{y})$ $\Leftrightarrow 4xy \leq (\sqrt{xy}+1)(y\sqrt{x}+x\sqrt{y})$, adevărat, aplicând inegalitatea mediilor în fiecare paranteză.
Adunând cele trei inegalităţi, obţinem: $\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+x}+ \dfrac{1}{\sqrt{xy}+1} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{x}}{x}+ \dfrac{\sqrt{y}}{y}+ \dfrac{\sqrt{xy}}{xy})$.
Dar avem chiar egalitate (în ipoteză), deci $x=y=1$.
Per aspera ad astra.