Test pre-ONM

[Doctor Gil]

Problema $1$. Andrei dubleaza orice numar sau ii sterge ultima cifra. Poate el din numarul $458$ sa obtina numarul $14$.

Problema $2$. Cate numere naturale mai mici decat $3^{10}$ nu pot fi scrise ca suma de (cel putin doua) numere naturale consecutive.

Problema $3$. La un turneu de fotbal fiecare echipa joaca cate un meci cu fiecare din celalalte. Un meci poate avea un castigator sau se poate termina la egalitate, acordandu-se doua puncte pentru victorie, un punct pentru egalitate sau zero puncte pentru infrangere. O echipa "nonconformista" este o echipa care a castigat toate partidele jucate cu cele care au avut mai multe puncte decat ea in clasamentul final si a pierdut cu toate echipele care au avut mai putine puncte decat ea.
a) Demonstrati ca toate echipele nonconformiste au acelasi punctaj in clasamentul final.
b) Este posibil ca la un tunrneu cu $5$ echipe exact doua echipe sa fie nonconformiste?

Problema $4$. In triunghiul $\triangle{ABC}$, $\angle{A}=30^\circ$ si $\angle{B}=45^\circ$. Bisectoarea unghiului $A$ si mediatoarea laturii $[AB]$ se intersecteaza in $M$. Demonstrati ca $BM=BC$.

[Anghelina Ion]

Problema 1. Un procedeu prin care se poate ajunge la valoarea $14$ este
$458\rightarrow45\rightarrow90\rightarrow9\rightarrow18\rightarrow36\rightarrow72\rightarrow7\rightarrow14$

[Anghelina Ion]

Problema $2$. Vom demonstra ca toate numerele cu proprietatea din problema sunt de forma $2^i$.
Presupunem contrariul, adica faptul ca exista un numar $n=2^i+k$, unde $k>0$ si $k$ nu este o putere a lui $2$.
Astfel deducem cazurile:
Cazul $I$
Daca numarul $k$ este impar, atunci:
$2^i+k$=$2^i$+$\dfrac{k-1}{2}+\dfrac{k-1}{2}+1$=$2^{i-1}+2^{i-1}+\dfrac{k-1}{2}+\dfrac{k-1}{2}+1=$
=$(2^{i-1}+\dfrac{k-1}{2})+(2^{i-1}+\dfrac{k-1}{2}+1)$, care sunt numere consecutive.
Cazul $II$
Daca numarul $k$ este par, atunci
$2^a+k=4\cdot2^i\cdot x+10$=$4\cdot(2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2})\cdot x+1+2+3+4$=
$=(4\cdot 2^{i-2}\cdot x+1)+(4\cdot 2^{i-2}\cdot x+2)$+$(4\cdot2^{i-2}\cdot x+3)+(4\cdot2^{i-2}\cdot x+4)$, care sunt numere conseutive.
Sau:
$2^a+k=4\cdot2^i\cdot x+18=$$4\cdot(2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2})\cdot x+3+4+5+6=$
$=(4\cdot2^{i-2}\cdot x+3)+(4\cdot2^{i-2}\cdot x+4)$$+(4\cdot2^{i-2}\cdot x+5)+(4\cdot2^{i-2}\cdot x+6)$, care sunt numere consecutive.
Deci presupunerea facuta este falsa.
Presupunem ca si numerele de forma $2^i$ pot fi scrise ca suma de numere consecutive.
Avem ca $2^i=2^{i-1}+2^{i-1}=2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2}+2^{i-2}$.
Presupunem numarul s-ar putea scrie ca suma de $n$ numere naturale consecutive.
Fie acestea $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$ si $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ cele $n$ puteri ale lui $2$, egale cu suma $2^i$.
Din presupunerea facuta obtinem ca $c_i=a_i-\dfrac{n}{2}$ si $c_{n+1-i}=a_i+\dfrac{n}{2}$
$i<\dfrac{n}{2}$, dar acest lucru ar insemna ca $n$ este impar (deoarece $a_{\dfrac{n}{2}+1}$=$c_{\dfrac{n}{2}+1})$, dar cum $n$ este putere a lui $2$ obtinem constradictie.

Astfel obtinem ca numai puterile lui $2$ mai mici decat $3^{10}$ respecta cerinta, adica $15$ numere.