Test pre-ONM

[Doctor Gil]

Problema $1$. Punctele unei drepte se coloreaza cu $11$ culori. Aratati ca exista doua puncte pe dreapta colorate la fel astfel incat lungimea segmentului determinat de cele doua puncte se exprima printr-un numar natural de centimetri.

Problema $2$. Fie numerele $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Aratati cum pot fi acestea permutate si puse intr-un sir astfel incat oricare doua cifre alaturate din sir alcatuiesc un numar divizibil cu $7$ sau cu $13$.

Problema $3$. Se dau doua numere $a$ si $b$ si un numar prim $p$.
Aratati ca daca: $[a,a+p]=[b,b+p]$ atunci $a=b$.
(Nota:prin $[a,b]$ am notat cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ si $b$)

Problema $4$. Aflati cel mai mic numar prim $p$ care nu divide suma:
$S=9^1+9^2+\ldots+9^{2010}$