Test pre-ONM (greu)

[Doctor Gil]

Problema 1. Determinați toate funcțiile $f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ care verifică relația $f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1$ pentru orice $x,y\in \Bbb{R}.$

Problema 2. Șirul $(a_n)_{n\ge 0}$ este definit prin $a_0=a_1=1$ și $a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}$ pentru orice număr natural $n\ge 1$.
Arătați că numărul $2a_n-1$ este pătrat perfect oricare ar fi $n\in \Bbb{N}$.

Problema 3. Fie $a,b\in \Bbb{C}$ și fie $n\ge 2$ un număr natural. Arătați că $|z^n+az+b|\le 1$ pentru orice $z\in \Bbb{C}$ cu $|z|=1$ dacă și numai dacă $a=b=0$.

Problema 4. Pentru două numere naturale nenule $n$ și $p$ cu $1\le p\le n$ definim: $R_n^p=\displaystyle\sum_{k=0}^p (-1)^k (p-k)^n \dbinom{n+1}k$
Arătați că $R_n^p=R_n^{n-p+1}$.

[Stefan Tudose]

1. $y=0\Rightarrow \ f(0)+f(x)+f(x+1)=2x+1 \ \ (1)$

$y=1\Rightarrow \ f(x)+f(x-1)+f(x+2)=3x+1 \ \ (2)$

Din relatia $(1)$ rezuta $f(x+2)=f(x)+2,\ f(x-1)=2x-1-f(x)$. Inlocuind in relatia $(2)$, $f(x)+f(x)+2+2x-1-f(x)=3x+1\Leftrightarrow f(x)=x$, functie care, intr-adevar, verifica ipoteza.

[Dan_Leonte2]

problema 2:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... %283%29%29^n-%28sqrt%283%29-2%29+%287%2B4+sqrt%283%29%29^n%29%3B+
problema 3:
Folosim P(z)+P(-z).

[Pricope Tidor-Vlad]

http://www.viitoriolimpici.ro/uploads/a ... e04c09.pdf

[Stefan Tudose]

2. Romania TST, 2002