Test pre-ONM

[Doctor Gil]

Problema 1.Fie $G$ un grup finit si $p$ un numar prim. Fie $m$ numarul de elemente de ordin $p$. Sa se arate ca, fie $p=0$, fie $p|m+1$.

Problema 2. Fie $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, derivabila cu derivatia continua si $\int_0^1f(x)\,dx=0.$
Demonstrati ca pentru orice $\alpha \in(0,1)$,
$\left|\int_0^{\alpha}f(x)\,dx\right|\le\frac18 \max_{0\le x\le 1}|f'(x)|$

Problema 3. Fie $f,g:[a,b]\to [0, \infty]$ functii continue si crescatoare, astfel incat orice $x\in [a,b]$ avem ca $\int^b_a \sqrt { 1+ f(t) }\ dt \geq \int^b_a \sqrt { 1 + g(t) }\ dt.$.

Problema 4. Fie $S_n$ grupul permutarilor de ordin $n$ iar $m$ cel mai mare numar natural cu proprietatea ca $2^m|n!$. Demonstrati ca exista un subgrup al lui $S_n$ cu $2^m$ elemente.

[drytime]

Pentru problema 3: fie.