Scoala cu ceas 2014 Juniori II problema 3

[Doctor Gil]

Aratati ca daca suma cifrelor numarului $\overline{ab}$, este egala cu suma cifrelor numarului $5\cdot\overline{ab}$, atunci $\overline{ab}\vdots 9$.

[Anghelina Ion]

Presupunem ca
$\overline{ab}=M_9+r$, unde $1\le r\le 9$, deci si $S(\overline{ab})=M_9+r$.
Observam ca $S(5\cdot\overline{ab}) \equiv 5\cdot\overline{ab} \equiv 5(M_9+r) \equiv M_9+5r(mod 9)$.
Astfel obtinem $M_9+r=M_9+5r$, ecuatie care are solutie numai pentru $r=0$, de unde rezulta
concluzia problemei.