OJM 2014, Problema 2

[Doctor Gil]

a) Aratati ca, daca $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ este o functie, astfel incat functiile $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=f(x)+f(2x)$, si $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $h(x)=f(x)+f(4x)$, sunt continue pe $\mathbb{R}$, atunci si $f$ este continua pe $\mathbb{R}$.

b) Dati un exemplu de functie discontinua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, care are urmatoarea proprietate: exista un interval $I\subset \mathbb{R}$, astfel incat, oricare ar fi $a$ in $I$, functia $g_{a}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g_{a}(x)=f(x)+f(ax)$, este continua pe $\mathbb{R}$.