valori proprii egale cu 1

[Claudiu Mindrila]

Fie $A$ o matrice de ordin n, cu elemente din multimea {0,1}, avand toate valorile proprii mai mari(strict) decat 0. Demonstrati ca toate valorile proprii ale lui $A$ sunt egale cu 1.

[BocanuMarius]

Cum valorile proprii sunt pozitive, determinantul este pozitiv, si cum este si intreg, $det (A) \ge 1$. Acum, $n^n\ge Tr(A)^n =(\lambda_1+...\lambda_n)^n \ge n^n \lambda_1...\lambda_n\ge n^n$, inseamna ca am peste tot egalitate, deci $\lambda_1=...\lambda_n=1$.