stelele matematicii 2013 probl 1

[ioanandrei]

Demonstrati ca pentru orice numere intregi a, b ecuatia
$2abx^4$$-a^2$$x^2-$$b^2-1=0$
nu poate avea nicio radacina numar intreg.

[Marius Stănean]

$a^2x^2+b^2+1=2abx^4$
Avem $a^2x^2+b^2+1\equiv 1,2,3 (\mod 4)$ prin urmare $ax\equiv 0,2(\mod 4)$ sau $b\equiv 0,2(\mod 4)$, in oricare din aceste cazuri membrul drept este $\equiv 0(\mod 4)$