geometrie combinatorica
-
radu alberto
- Mesaje: 89
- Membru din: Joi Apr 04, 2013 4:38 pm
geometrie combinatorica
Se considera in plan $n+m+2$ puncte, oricare $3$ necoliniare.Sa se arate ca exista o dreapta care trece prin $2$ puncte,imparte planul in $2$ semiplane in care se gasesc $m$ respectiv $n$ pucte.
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: geometrie combinatorica
Zicem ca perechia de numere $(m,n)$ au proprietatea $\mathcal{P}$ daca ele respecta cerinta.
Lema:Daca perechia de numere $(m,n)$ au proprietatea $\mathcal{P}$,atunci si perechiile de numere $(m+1,n)$ si $(m,n+1)$ au proprietatea $\mathcal{P}$.
Demonstratie:Consideram o configuartie de $m+n+2$ puncte in plan care respecta cerinta.Acum plasam un punct in plan la intamplare(astfel incat sa nu se afle pe o dreapta determinata de doua din cele $m+n+2$ puncte.Acum doar "miscam" putin dreapta care trece prin cele doua puncte care imparteau cele $m+n+2$ puncte initiale in $2$ semiplane care contineau $m$,respectiv $n$ puncte astfel incat acea dreapta sa treaca prin doua puncte care sa imparta planul in doua semiplane care contin $m+1$,respectiv $n$ puncte.
Deci perechia de numere $(m+1,n)$ are si ea proprietatea $\mathcal{P}$.In mod analog se demonstreaza ca si perechia $(m,n+1)$ are proprietatea $\mathcal{P}$.
Acum sa observam ca perechia $(0,0)$ are proprietatea $\mathcal{P}$(acest lucru este evident).Acum folosind lema de mai se demonstreaza ca orice perechie de numere naturale $(m,n)$ are proprietatea $\mathcal{P}$.
Lema:Daca perechia de numere $(m,n)$ au proprietatea $\mathcal{P}$,atunci si perechiile de numere $(m+1,n)$ si $(m,n+1)$ au proprietatea $\mathcal{P}$.
Demonstratie:Consideram o configuartie de $m+n+2$ puncte in plan care respecta cerinta.Acum plasam un punct in plan la intamplare(astfel incat sa nu se afle pe o dreapta determinata de doua din cele $m+n+2$ puncte.Acum doar "miscam" putin dreapta care trece prin cele doua puncte care imparteau cele $m+n+2$ puncte initiale in $2$ semiplane care contineau $m$,respectiv $n$ puncte astfel incat acea dreapta sa treaca prin doua puncte care sa imparta planul in doua semiplane care contin $m+1$,respectiv $n$ puncte.
Deci perechia de numere $(m+1,n)$ are si ea proprietatea $\mathcal{P}$.In mod analog se demonstreaza ca si perechia $(m,n+1)$ are proprietatea $\mathcal{P}$.
Acum sa observam ca perechia $(0,0)$ are proprietatea $\mathcal{P}$(acest lucru este evident).Acum folosind lema de mai se demonstreaza ca orice perechie de numere naturale $(m,n)$ are proprietatea $\mathcal{P}$.