Functie 2.

[Pricope Tidor-Vlad]

Fie $a,b,c \in R$ si $f:R \rightarrow R$ o functie cu proprietatea:
$f(ax^2+bx+c)=af^2(x)+bf(x)+c$,oricare ar fi $x \in R$.
Sa se demonstreze ca ecuatia $f(f(x))=x$ are cel putin o solutie oricare ar fi $a,b,c \in R$ care verifica $ac < (\dfrac{b-1}{2})^2$.

[Laurențiu Ploscaru]

Din motive de lejeritate, vom nota $g(x)=ax^2+bx+c$. Ipoteza ne spune că $f\circ g=g\circ f$. (funcțiile comută)
Să ne uităm acum la ecuația $g(x)=x$, care datorită ipotezei are $\Delta >0$, așadar are două rădăcini reale distincte $m$ și $n$.
Avem $g(f(m))=f(g(m))=f(m)$ și, de asemenea, $g(f(n))=f(g(n))=f(n)$, prin urmare $f(m)$ și $f(n)$ sunt puncte fixe ale lui $g$.
Însă aceasta are doar două puncte fixe, prin urmare distingem următoarele situații:
- $f(m)=m$, ceea ce rezolvă problema;
- $f(n)=n$, ceea ce din nou rezolvă problema;
- $f(m)=n$ și $f(n)=m$, caz în care $f(f(m))=f(n)=m$, qed.

Observație: Problema rămâne adevărată și în cazul limită $4ac=(b-1)^2$, deoarece ecuația $g(x)=x$ va avea o singură soluție reală $y$, care verifică la rândul ei $f(f(y))=y$.