Care este limita sirului dat de relatiile: $a_1=a>0$, $a_{n+1}=\dfrac{na_n}{n+a_n^2},\ n\ge 1$ ?
V. Nicula, enunt partial
Limita unui sir recurent
Re: Limita unui sir recurent
Aș fi curios să văd o soluție la această problemă. Ați putea vă rog să îmi spuneți sursa?
-
Claudiu Mindrila
- Mesaje: 151
- Membru din: Mie Noi 03, 2010 10:05 am
Re: Limita unui sir recurent
Sursa este V. Nicula,Analiza matematica. Teorie. Exercitii. Probleme, ed. Teora, 1999.
Solutia mea: Se arata usor ca sirul dat este monoton si marginit, deci convergent catre o limita $l$. Dar cum
$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n+1\right)a_{n+1}-na_{n}}{n+1-n}=\lim\limits _{n\to\infty}\left(n+1\right)\frac{na_{n}}{n+a_{n^{2}}}-na_{n}$
$\displaystyle =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_{n}\left(1-a_{n}^{2}\right)}{1+\frac{a_{n}^{2}}{n}}=l\left(1-l^{2}\right)$
din criteriul Cesaro-Stolz deducem ca $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{na_{n}}{n}=l\left(1-l^{2}\right)\Longrightarrow l=l-l^{3}\Longrightarrow l=0$
Solutia mea: Se arata usor ca sirul dat este monoton si marginit, deci convergent catre o limita $l$. Dar cum
$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n+1\right)a_{n+1}-na_{n}}{n+1-n}=\lim\limits _{n\to\infty}\left(n+1\right)\frac{na_{n}}{n+a_{n^{2}}}-na_{n}$
$\displaystyle =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_{n}\left(1-a_{n}^{2}\right)}{1+\frac{a_{n}^{2}}{n}}=l\left(1-l^{2}\right)$
din criteriul Cesaro-Stolz deducem ca $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{na_{n}}{n}=l\left(1-l^{2}\right)\Longrightarrow l=l-l^{3}\Longrightarrow l=0$