Baraj 1 2013/ pb.1

[Dan_Leonte]

Fie $n\ge 2$ un număr natural și $a_n,b_n,c_n$ numere întregi astfel încât $(\sqrt[3]{2}-1)^n=a_n+ b_n\cdot \sqrt[3]{2}+c_n\cdot \sqrt[3]{4}.$
Să se arate că $c_n \equiv 1\ (mod\ 3)$ dacă și numai dacă $n \equiv 2(\ mod\ 3)$.

Moderator edit

[Vintu Vladimir]

avem ca $a_{n+3}=a_n-3b_n+3c_n,b_{n+3}=3a_n+b_n-3c_n,$ $c_{n+3}=c_n+3b_n-3a_n$
Fie $P(n):$ "$b_n-a_n\vdots 3\Leftrightarrow n\equiv 2(mod 3)$"
se demonstreaza usor ca $P(0),P(1),P(2)$ corespund si de aici, cu $P(n)->P(n+3)$, din relatiile de la inceputul problemei obtinem usor ca $b_{n+3}-a_{n+3}\equiv b_n-a_n(mod 3)$, de unde concluzia
de aici si din ultima relatie de la inceputul problemei obtinem ca $c_{n+3}\equiv c_n(mod 3)$ si tot inductiv obtinem imediat concluzia

[Claudiu Mindrila]

aceasta a fost si solutia mea