OJM clasa a8 a P1

[Pricope Tidor-Vlad]

Determinati tripletele de nr. intregi (x,z,y) cu proprietatea ca: $x^2+y^2+z^2=16(x+y+z)$

[dzzank]

Ecuatia se mai poate scrie: x(x-16) + y(y-16) + z(z-16) = 0
x(x-16)=0 => x=0;16
y(y-16)=0 => y=0;16
z(z-16)=0 => z=0;16

(x;y;z) = (0;0;0) , (16;0;0) , (0;16;0) , (0;0;16) , (16;16;0) , (16;0;16) , (0;16;16) , (16;16;16).

[seby]

Dar nu ai de unde sa stii ca $x(x-16),y(y-16),z(z-16) \ge 0$

[Pricope Tidor-Vlad]

Solutia mea:Membrul stang este multiplu de 4,de unde va rezulta tinand cont de resturile impartirii unui patrat perfect la 4 ca x,y,z pare.Inlocuind in ipoteza si repetand rationamentul,obtinem$x=8x_3,y=8y_3,z=8z_3$si$x_3^2+y_3^2+z_3^2=2(x_3+y_3+z_3)$ sau $(x_3-1)^2+(y_3-1)^2+(z_3-1)^2=3$,de aici se dau valori lui $(x_3-1)^2$...

[Dan_Leonte]

Coborararea infinita a lui Fermat.

[Laurențiu Ploscaru]

Ecuatia se mai poate scrie: x(x-16) + y(y-16) + z(z-16) = 0
x(x-16)=0 => x=0;16
y(y-16)=0 => y=0;16
z(z-16)=0 => z=0;16

(x;y;z) = (0;0;0) , (16;0;0) , (0;16;0) , (0;0;16) , (16;16;0) , (16;0;16) , (0;16;16) , (16;16;16).

Nu mi-o lua în nume de rău, dar e total aiurea ceea ce ai scris...

[pop sever]

Atasez solutia mea in fisierul de mai jos.

[ghenghea1]

Ne uităm modulo $4$.
Generalizare : $x^2+y^2+z^2=2^n(x+y+z)$