Fie $A,B$ doua matrici cu coeficienti reali astfel incat
$AB=A^2B^2-(AB)^2$ si $\det(B)=2$.
a) Aratati ca matricea $A$ nu este inversabila.
b) Calculati $\det(A+2B)- \det(B+2A)$.
Olimpiada Judeteana de Matematica 2013 P2
Re: Olimpiada Judeteana de Matematica 2013 P2
Deoarece $B$ este inversabila obtinem relatia $A=A(AB-BA)$.
Daca $A$ ar fi inversabila, din relatia precedenta rezulta ca $AB-BA=I$. Trecand la urme obtinem $0=2$. Contradictie!
Daca trecem la urme in relatia $A=AAB-ABA$ obtinem $tr(A)=0$. Astfel folosind teorema Cayley Hamilton avem $A^2=0$.
Notam cu $p(x)=\det(A+xB)=2\det(AB^{-1}+xI_2) =$ $2x^2+cx$.
Notam cu $q(x)=\det(xA+B)=2x^2\det(AB^{-1}+\frac{1}{x}I_2) =$ $2+cx$. Mai ramane de calculat $p(2)-q(2)$.
Daca $A$ ar fi inversabila, din relatia precedenta rezulta ca $AB-BA=I$. Trecand la urme obtinem $0=2$. Contradictie!
Daca trecem la urme in relatia $A=AAB-ABA$ obtinem $tr(A)=0$. Astfel folosind teorema Cayley Hamilton avem $A^2=0$.
Notam cu $p(x)=\det(A+xB)=2\det(AB^{-1}+xI_2) =$ $2x^2+cx$.
Notam cu $q(x)=\det(xA+B)=2x^2\det(AB^{-1}+\frac{1}{x}I_2) =$ $2+cx$. Mai ramane de calculat $p(2)-q(2)$.