ONM 2013, Etapa judeteana, Problema 2

[Horea Muresan]

Un grup $(G,\cdot)$ are proprietatea $(P)$, daca, pentru orice automorfism $f$ al lui $G$, exista doua automorfisme $g$ si $h$ ale lui $G$, astfel incat $f(x)=g(x)\cdot h(x)$, oricare ar fi $x\in G$. Sa se arate ca:
(a) Orice grup care are proprietatea $(P)$ este comutativ.
(b) Orice grup comutativ finit de ordin impar are proprietatea $(P)$.
(c) Niciun grup finit de ordin $4n+2, n\in\Bbb N$, nu are proprietatea $(P)$.
(Ordinul unui grup finit este numarul de elemente ale acelui grup.)