Va rog sa-mi raspundeti la urmatoarea intrebare :
Graficele a 2 functii convexe(concave) continue se pot intersecta in mai mult de 2 puncte?.
Daca raspunsul este da atunci va rog sa precizati conditiile.
functii convexe(concave)
Re: functii convexe(concave)
Da! Spre exemplu, graficele funcțiilor convexe $x \rightarrow x^2$ și $x \rightarrow 2^x$ se intersectează în trei puncte distincte, de abscise 2, 4 și încă una negativă.
De altfel, numărul punctelor de intersecție poate fi oricât de mare.
Iată cum se construiește un exemplu cu 5 puncte de intersecție. Considerăm o funcție convexă $f$, definită pe $\mathbb{R}$. Alegem 5 puncte pe graficul funcției, de abscise $a<b<c<d<e$. Construim funcția $g$ astfel ca $g(x)=f(x)$, pentru $x \in (-\infty,a) \cup (e, \infty)$. Pe fiecare din intervalele $[a,b], [b,c], [c,d], [d,e]$, funcția $g$ este funcția liniară care unește punctele de abscise $a<b<c<d<e$. Evident, $g$ este continuă și convexă.
Funcția $h= \frac {f+g}{2}$, cu $f$ și $g$ de mai sus, este o altă funcție continuă și convexă, care intersectează și pe $f$ și pe $g$ în aceleași 5 puncte.
Ca observație, cum orice funcție convexă definită pe $\mathbb{R}$ este continuă, problema "adevărată" este dacă se pot găsi funcții convexe derivabile care se pot intersecta în oricâte puncte. Și la această problemă răspunsul este afirmativ. Un exemplu cu trei puncte de intersecție este dat la începutul acestui post. Pentru mai multe puncte, modul de construcție și alte exemple se găsesc într-un excelent articol al prof. Marin Toloși, publicat acum vreo doi-trei ani în Gazeta Matematică.
De altfel, numărul punctelor de intersecție poate fi oricât de mare.
Iată cum se construiește un exemplu cu 5 puncte de intersecție. Considerăm o funcție convexă $f$, definită pe $\mathbb{R}$. Alegem 5 puncte pe graficul funcției, de abscise $a<b<c<d<e$. Construim funcția $g$ astfel ca $g(x)=f(x)$, pentru $x \in (-\infty,a) \cup (e, \infty)$. Pe fiecare din intervalele $[a,b], [b,c], [c,d], [d,e]$, funcția $g$ este funcția liniară care unește punctele de abscise $a<b<c<d<e$. Evident, $g$ este continuă și convexă.
Funcția $h= \frac {f+g}{2}$, cu $f$ și $g$ de mai sus, este o altă funcție continuă și convexă, care intersectează și pe $f$ și pe $g$ în aceleași 5 puncte.
Ca observație, cum orice funcție convexă definită pe $\mathbb{R}$ este continuă, problema "adevărată" este dacă se pot găsi funcții convexe derivabile care se pot intersecta în oricâte puncte. Și la această problemă răspunsul este afirmativ. Un exemplu cu trei puncte de intersecție este dat la începutul acestui post. Pentru mai multe puncte, modul de construcție și alte exemple se găsesc într-un excelent articol al prof. Marin Toloși, publicat acum vreo doi-trei ani în Gazeta Matematică.