Cercul lui EULER

[mihai miculita]

Intr-un triunghi oarecare $ABC$ notam cu H ortocentrul si cu $\{H_a\}=AH\cap BC; \{H_b\}=BH\cap AC; \{H_c\}=CH\cap AB$(picioarele inaltimilor); cu $M_a, M_b, M_c$ mijloacele laturilor $[BC], [CA]$ si respectiv $[AB]$; iar cu $E_a, E_b, E_c$ mijloacele segmentelor $[HA], [HB]$ si respectiv $[HC]$(punctele euleriene ale inaltimilor).
Triunghiul $H_aH_bH_c$ poarta numele de triunghi ortic al triunghiului ABC; iar triunghiul $M_aM_bM_c$ poarta numele de triunghi median sau de triunghi complementar al triunghiului $ABC$.
TEOREMA:
Triunghiurile $H_aH_bH_c, M_aM_bM_c$ si $E_aE_bE_c$ sunt inscrise intr-un acelasi cerc, avand centrul in mijlocul $E$ al segmentului [OH], acest cerc poarta numele de: cercul lui EULER sau de cercul celor noua puncte al triunghiului $ABC$. (DEMONSTRATI!)
Indicatie: Aratati ca patrulaterele $E_aE_bM_aM_b, E_bE_cM_bM_c, E_cE_aM_aM_c$ sunt niste dreptunghiuri.

[Laurențiu Ploscaru]

De asemenea simetricele ortocentrului triunghiului ABC față de laturi și mijloacele lor se află pe cercul circumscris triunghiului ABC.

[Laurențiu Ploscaru]

Generalizare: Fie $\triangle ABC$, iar $M,N$ două puncte conjugate izogonale în interiorul său. Atunci triunghiurile podare celor două puncte se înscriu în același cerc, al cărui centru se află în mijlocul lui $[MN]$. În cazul cercului lui Euler este vorba despre $O$ și $H$, iar triunghiurile lor podare se află pe cercul circumscris al triunghiului median.