Concursul Alexandru Papiu Ilarian, 2012, Problema 2

[Horea Muresan]

Sa se determine legile de compozitie $*:[0,1]\times[0,1]\rightarrow[0,1]$ pentru care $([0,1],*)$ este monoid comutativ cu elementul neutru $e=1$ si care mai verifica una din conditiile:
a) $(x\cdot y)*(x\cdot z)=x\cdot(y*z),\,\forall \, x,\,y,\,z\in [0,1];$
b) $(x\cdot y)*(x\cdot z)=x^{2}\cdot(y*z),\,\forall \, x,\,y,\,z\in [0,1];$
c) $(x\cdot y)*(x\cdot z)=x^{3}\cdot(y*z),\,\forall \, x,\,y,\,z\in [0,1].$