Problema 2, Viitori Olimpici-etapa finala 2012

[anamariaradu]

Determinați toate numerele prime $a$ , $b$ , $c$, cu $a$ $<$ $b$ $<$ $c$ și $c-a$ $<$ $10$, știind ca $a^2 + b^2 + c^2$ este un număr prim.

[Anghelina Ion]

Daca nici unul dintre numerele $a, b ,c$ nu este divizibil cu $3$, atunci
$a^2+b^2+c^2=M_3+1+M_3+1+M_3+1=M_3+3=M_3$-fals, deci unul dintre numere este multiplu de $3$.
Observam ca acesta nu poate fi $c$ deci acesta poate fi $a$ sau $b$.
Daca $b=3$, atunci $a=2$, deci numarul $a^2+b^2+c^2$ este par-fals, deci $a=3$
Daca $a=3$, avem $c<13$
-pentru $c=11$ obtinem $b=7$
-pentru $c=7$ obtinem $b=5$
-pentru $c\le 5$ nu avem solutie.
Deci obtinem solutiile:
$S_1=\{a=3, b=5, c=7\}$ si $S_2=\{a=3, b=7, c=11\}$