Puterea punctului P fata de cercul de diametru [AB]!

[mihai miculita]

Notand cu $\rho_{AB}(P)$ puterea punctului $P$ fata de cercul de diametru $[AB]$ si cu $M$ mijlocul segmentului $[AB]$(centrul cercului),
avem: $\boxed{\rho_{AB}(P)=\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}=|PA|.|PB|.\cos\widehat{APB}}.$
Demonstratie: Intr-adevar, avem:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\Rightarrow|AB|^2=|PA|^2+|PB|^2-2.\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}\Rightarrow$
$\Rightarrow\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}=\dfrac{|PA|^2+|PB|^2-|AB|^2}{2}=$$\dfrac{2.\left(|PA|^2+|PB|^2-|AB|^2\right)}{4}=$
$=\dfrac{2.\left(|PA|^2+|PB|^2\right)-|AB|^2}{4}-\dfrac{|AB|^2}{4}=$$|PM|^2-\dfrac{|AB|^2}{4}=\rho_{AB}(P).$