Functii de monotonii diferite si continuitate
-
Claudiu Mindrila
- Mesaje: 151
- Membru din: Mie Noi 03, 2010 10:05 am
Functii de monotonii diferite si continuitate
Fie $f:\left(0,\ \infty\right)\to\mathbb{R}$ o functie monotona. Daca functia $x\to\dfrac{f\left(x\right)}{x}$ este si ea monotona , monotonia ei fiind diferita de cea a functiei $f$, atunci $f$ este continua.
Re: Functii de monotonii diferite si continuitate
Pentru o funcție $p$ oarecare, să notăm, dacă există, cu $l_p(x)$ limita sa la stânga în $x$ și cu $L_p(x)$ limita sa la dreapta în $x$, pentru orice $x$ din domeniul său de definiție.
Funcția $f$ este monotonă, deci are limite la stânga și la dreapta finite în orice punct din $(0,\infty)$. Similar, funcția $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ este monotonă deci are limite laterale finite în orice punct din $(0,\infty)$.
Avem $l_g(x)=\l_{\frac{f(x)}{x}}(x)=\frac{l_f(x)}{x}$ și $L_g(x)=L_{\frac{f(x)}{x}}(x)=\frac{L_f(x)}{x}$ , $\forall x>0$. Fie $x>0$ arbitrar.
$\fbox{1.}$ $f$ crescătoare, deci $g$ descrescătoare.
Din $f$ crescătoare avem $l_f(x)\leq f(x)\leq L_f(x) \ (1)$, iar din $g$ descrescătoare $l_g(x)\geq g(x)\geq L_g(x) \Rightarrow \frac{l_f(x)}{x}\geq \frac{g(x)}{x}\geq \frac{L_f(x)}{x}$ $\stackrel{x>0}{\Rightarrow} l_f(x)\geq f(x)\geq L_f(x) \ (2)$. Din (1),(2) avem $l_f(x)=L_f(x)=f(x)$, adică funcția $f$ este continuă în $x$ .
$\fbox{2.}$ $f$ descrescătoare, deci $g$ crescătoare.
Din $f$ descrescătoare avem $l_f(x)\geq f(x)\geq L_f(x) \ (1)$, iar din $g$ crescătoare $l_g(x)\leq g(x)\leq L_g(x) \Rightarrow \frac{l_f(x)}{x}\leq \frac{g(x)}{x}\leq \frac{L_f(x)}{x}$ $\stackrel{x>0}{\Rightarrow} l_f(x)\leq f(x)\leq L_f(x) \ (2)$. Din (1),(2) avem $l_f(x)=L_f(x)=f(x)$, adică funcția $f$ este continuă în $x$.
Cum punctul $x>0$ a fost ales arbitrar, deducem că funcția $f$ este continuă în orice punct din domeniul ei de definiție. Astfel, ea este continuă.
Funcția $f$ este monotonă, deci are limite la stânga și la dreapta finite în orice punct din $(0,\infty)$. Similar, funcția $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ este monotonă deci are limite laterale finite în orice punct din $(0,\infty)$.
Avem $l_g(x)=\l_{\frac{f(x)}{x}}(x)=\frac{l_f(x)}{x}$ și $L_g(x)=L_{\frac{f(x)}{x}}(x)=\frac{L_f(x)}{x}$ , $\forall x>0$. Fie $x>0$ arbitrar.
$\fbox{1.}$ $f$ crescătoare, deci $g$ descrescătoare.
Din $f$ crescătoare avem $l_f(x)\leq f(x)\leq L_f(x) \ (1)$, iar din $g$ descrescătoare $l_g(x)\geq g(x)\geq L_g(x) \Rightarrow \frac{l_f(x)}{x}\geq \frac{g(x)}{x}\geq \frac{L_f(x)}{x}$ $\stackrel{x>0}{\Rightarrow} l_f(x)\geq f(x)\geq L_f(x) \ (2)$. Din (1),(2) avem $l_f(x)=L_f(x)=f(x)$, adică funcția $f$ este continuă în $x$ .
$\fbox{2.}$ $f$ descrescătoare, deci $g$ crescătoare.
Din $f$ descrescătoare avem $l_f(x)\geq f(x)\geq L_f(x) \ (1)$, iar din $g$ crescătoare $l_g(x)\leq g(x)\leq L_g(x) \Rightarrow \frac{l_f(x)}{x}\leq \frac{g(x)}{x}\leq \frac{L_f(x)}{x}$ $\stackrel{x>0}{\Rightarrow} l_f(x)\leq f(x)\leq L_f(x) \ (2)$. Din (1),(2) avem $l_f(x)=L_f(x)=f(x)$, adică funcția $f$ este continuă în $x$.
Cum punctul $x>0$ a fost ales arbitrar, deducem că funcția $f$ este continuă în orice punct din domeniul ei de definiție. Astfel, ea este continuă.