În tetraedrul $ABCD$ cu toate fețele triunghiuri ascuțitunghice, în care $AB\perp CD$ și $AC\perp BD$, se notează $H_1,H_2,H_3,H_4$ ortocentrele $\triangle BCD,\ \triangle ACD,\ \triangle ABD$ și $\triangle ABC$.
$a)$ Arătați că $AH_1,\ BH_2,\ CH_3,\ DH_4$ și perpendicularele comune ale muchiilor opuse sunt concurente într-un punct $H$.
$b)$ Arătați că cel puțin unul dintre rapoartele $\dfrac{HH_1}{HA},\dfrac{HH_2}{HB},\dfrac{HH_3}{HC}$ și $\dfrac{HH_4}{HD}$ este mai mare strict decât $\dfrac{1}{4}$.
(Cecilia Deaconescu, Pitești)
Problema 4, SHL ONM 2012
-
Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Problema 4, SHL ONM 2012
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
-
mihai miculita
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
Re: Problema 4, SHL ONM 2012
In ceea ce priveste subpunctul b), are loc urmatoarea proprietate mai generala:
Daca $P$ este un punct arbitrar din interiorul tetraedrului $ABCD$ si notand cu: $\{P_x\}=XP\cap (YZT);$ unde: $\{X;Y;Z;T\}=\{A;B;C;D\}$, atunci are loc relatia:
$\dfrac{|PP_a|}{|AP_a|}+\dfrac{|PP_b|}{|AP_b|}+\dfrac{|PP_c|}{|AP_c|}+\dfrac{|PP_d|}{|AP_d|}=1;$ iar din aceasta relatie urmeaza ca cel putin unul dintre rapoartele $\dfrac{|PP_a|}{|AP_a|},\,\dfrac{|PP_b|}{|AP_b|},\,\dfrac{|PP_c|}{|AP_c|},\,\dfrac{|PP_d|}{|AP_d|}$ este $\ge\dfrac{1}{4}.$
OBSERVATIE:
Daca $P\neq G$ (centrul de greutate al tetraedrului), atunci inegalitatea este stricta!
Daca $P$ este un punct arbitrar din interiorul tetraedrului $ABCD$ si notand cu: $\{P_x\}=XP\cap (YZT);$ unde: $\{X;Y;Z;T\}=\{A;B;C;D\}$, atunci are loc relatia:
$\dfrac{|PP_a|}{|AP_a|}+\dfrac{|PP_b|}{|AP_b|}+\dfrac{|PP_c|}{|AP_c|}+\dfrac{|PP_d|}{|AP_d|}=1;$ iar din aceasta relatie urmeaza ca cel putin unul dintre rapoartele $\dfrac{|PP_a|}{|AP_a|},\,\dfrac{|PP_b|}{|AP_b|},\,\dfrac{|PP_c|}{|AP_c|},\,\dfrac{|PP_d|}{|AP_d|}$ este $\ge\dfrac{1}{4}.$
OBSERVATIE:
Daca $P\neq G$ (centrul de greutate al tetraedrului), atunci inegalitatea este stricta!
-
DanDumitrescu
- Mesaje: 108
- Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm
Re: Problema 4, SHL ONM 2012
La supunctul a) ideea este ca stim ca acest tetraedru este unul ortocentric si ca inaltimile tetraedrului sse intersecteaza.Ca sa aratam ca si perpendicularele comune se intersecteaza nu este foarte greu deoarece vom lua un triunghi sa zicem ABM unde M reprezinta proiectia punctului B pe CD.Apoi pependiculara comuna se intersecteaza cu inaltimile triunghiului in ortocentrul acestui triunghi.Analog pentru celelelate.
Liceul National Alexandru Lahovari
-
DanDumitrescu
- Mesaje: 108
- Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm
Re: Problema 4, SHL ONM 2012
La subpunctul b) avem ca suma acelor patru rapoarte este mai mare sau egala cu 4/3 si deci dacă toate ar fi mai mici ca 1/4 atunci am avea o contradicție.Totusi cred ca ar fi mult mai interesantă problema dacă in loc de 1/4 ar fi 1/3 si ar trebui ca acele rapoarte sa fie egale si atunci nu pot fi toate egale si unul din aceste rapoarte e mai mare strict decât 1/3.
Liceul National Alexandru Lahovari