Anul 2002

[Doctor Gil]

CLASA A VII-A

$1.$ La o masă circulară de joc sunt $8$ jucători. La un moment dat se constată că fiecare jucător împreună cu cei doi vecini ai săi au împreună un număr impar de fise câștigătoare. Dovediți că fiecare jucător are cel puțin o fisă câștigătoare.
(***)

$2.$ Demonstrați că orice număr real $x$ pentru care $0<x<1$ se scrie ca diferența a două numere iraționale strict pozitive și mai mici strict ca $1$.
(***)

$3.$ Fie $ABCD$ un trapez. Determinați mulțimea punctelor $P$ interioare trapezului, care satisfac proprietatea:
Prin punctul $P$ trec cel puțin două drepte care intersectează bazele trapezului, împărțindu-l, fiecare, în două trapeze de arii egale.
(***)

$4\ a)$ Se dă $\triangle ABC$ echilateral de latură $a$, $\triangle MNP$ este determinat de condițiile $P\in(AB),\ M\in(BC),\ N\in(AC),$ a.î. $MP\perp AB$ și $PN\perp AC$.
Calculați lungimea segmentului $[MP]$.
$b)$ Demonstrați că, pentru orice $\triangle ABC$ ascuțitunghic, există punctele $P\in(AB),\ M\in(BC),\ N\in(AC)$ a.î. $MP\perp AB,\ NM\perp BC$ și $PN\perp AC$.
(Mircea Fianu, București)

CLASA A VIII-A

$1.$ Pentru orice $n\in \Bbb{N},\ n\ge 2$, notăm $P(n)$ numărul perechilor $(a;b)\in \Bbb{N^*}\times \Bbb{N^*}$, a.î. $\frac{n}{a}\in (0,1),\ \ \ \frac{a}{b}\in (1,2)$ și $\frac{b}{n}\in (2,3)$.
Determinați $P(3)$ și aflați $n$, a.î. $P(n)=2002$.
(Mircea Fianu, București)

$2.$ Fiind date $a, c, d\in \Bbb{R}$, demonstrați că există cel mult o funcție $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$, a.î $f(ax+c)+d\le x\le f(x+d)+c$ pentru orice $x\in \Bbb{R}$.
(Laurențiu Panaitopol, București)

$3.$ Se consideră trunchiul de piramidă regulata $[ABCA^\prime B^\prime C^\prime]$. Cele 2 baze au centrele de greutate $G$, respectiv $G^\prime$. Se dau $AB=36,\ A^\prime B^\prime =12,\ GG^\prime =35$.
$a)$ Demonstrați că planele $(ABC^\prime),\ (BCA^\prime),\ (CAB^\prime)$ au comun un punct $P$, iar planele $(A^\prime B^\prime C),\ (B^\prime C^\prime A),\ (C^\prime A^\prime B)$ au comun un punct $P^\prime$, situate pe $GG^\prime$.
$b)$ Calculați lungimea segmentului $[PP^\prime]$.
(***)

$4.$ Prisma dreaptă $[A_1A_2A_3...A_nB_1B_2B_3...B_n],\ n\in \Bbb{N},\ n\ge 3$, are ca bază un poligon convex.
Se știe că $A_1B_2\perp A_2B_3,\ \ \ A_2B_3\perp A_3B_4,\ \ \ ...$ $,\ \ \ A_{n-1}B_n\perp A_nB_1,\ \ \ A_nB_1\perp A_1B_2,$.
Demonstrați că $n=3$ și că prisma este regulată.
(Mircea Fianu, București)