Anul 2003

[Doctor Gil]

CLASA A VII-A

$1.$ Calculați numărul maxim de elemente care pot fi alese din mulțimea \{1,2,3,...,2003\} a.î. suma oricăror două elemente alese să nu fie divizibilă cu $3$.
(***)

$2.$ Calculați valoarea maximă posibilă a ariei unui triunghi care are două mediane de lungimi $1$ și $2$.
(Laurențiu Panaitopol, București)

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul: $A_{n}=\sqrt{49n^{2}+0,35n}$.
$a)$ Calculați primele trei zecimale ale numărului $A_{1}$.
$b)$ Arătați că primele trei zecimale ale numerelor $A_{n}$ și $A_{1}$ sunt aceleași, oricare ar fi $n$ natural nenul.
(***)

$4.$ Se dă $\triangle ABC$ în care $P$ este mijlocul laturii $[BC]$. Fie $M\in(AB),\ N\in(AC)$ a.î. $MN\parallel BC$ și $\{Q\}=MP\cap BN$.
Perpendiculara din $Q$ pe dreapta $AC$ intersectează pe $AC$ în $R$ și paralela prin $B$ la $AC$ în $T$. Arătați că $TP\parallel MR$ și că $\widehat{MRQ}\equiv\widehat{PRQ}$.
(Virgil Nicula & Mircea Fianu, București)

CLASA A VIII-A

$1.$ Pentru $m,n\in \Bbb{N}$, arătați că numărul $5^{n}+5^{m}$ se scrie ca sumă de două pătrate perfecte $\Longleftrightarrow n-m$ este par.
(Vasile Zidaru, Sf. Gheorghe)

$2.$ La o reuniune au participat $6$ elevi. Se știe că din orice grup de $3$ elevi, cel puțin $2$ sunt prieteni și că există $7$ perechi de prieteni.

Arătați că printre cei $6$ elevi există un elev care are cel puțin $3$ prieteni și că există cel puțin $3$ elevi care sunt prieteni între ei.
(Valentin Vornicu, București)

$3.$ Numerele reale $a$ și $b$ au proprietățile $0<a<b;\ \ \ \ \ b-a\geq \frac{1}{2}$ și $a^{40}+b^{40}=1$.
Arătați că în reprezentarea zecimală a lui $b$, primele $12$ cifre de după virgulă sunt egale cu $9$.
(Mircea Fianu, București)

$4.$ Fie tetraedrul $ABCD$ în care $G_1\, G_2,\ G_3$ sunt centrele de greutate ale fețelor $ADC,\ ABD$, respectiv $BDC$.
$a)$ Arătați că dreptele $BG_1,\ CG_2,\ AG_3$ sunt concurente.
$b)$ Știind că $AG_{3}=8,\ BG_{1}=12$ și $CG_{2}=20$, calculați valoarea maximă posibilă a volumului tetraedrului $ABCD$.
(Laurențiu Panaitopol, Mircea Fianu, București)