Anul 2006

[mircea.lascu]

Clasa a 7-a:


1 Sa se arate ca pentru orice numar natural $n,\ n>1$ , numarul $\sqrt{11\ldots 144\ldots 4}$, unde 1 apare de n ori, iar 4 apare de 2n ori, este irational.
Cecilia Deaconescu, Pitesti

2 In $\triangle{ABC}$ avem $\angle{ABC}=2\cdot\angle{ACB}$. Sa se arate ca:
a)$AC^2=AB^2+AB \cdot BC$
b) $AB+BC<2 \cdot AC$.
Gh. Bumbacea, Busteni

3 O multime M de patru numere naturale se numeste legata, daca pentru orice element $x\in M$ cel putin unul dintre numerele $x-1,x+1$ este in M. Fie $U_n$ numarul de submultimi legate ale multimii $\{1,2, \ldots ,n\}$.
a) Sa se calculeze $U_7$.
b) Sa se determine cel mai mic numar $n$ pentru care $U_n\geq2006$.
Lucian Dragomir, Otelu Rosu

4 Fie $\triangle{ABC}$ isoscel cu $AB=AC,\,\;D$ mijlocul laturii $BC,\,\;M$ mijlocul segmentului $AD$ si $N$ piciorul perpendicularei din $D$ pe $BM$. Aratati ca $\angle{ANC}=90^\circ$.
Marcel Chirita


Clasa a 8-a:



1 Pe planul $\triangle{ABC}$ dreptunghic in A ridicam perpendiculare din punctele A si B, de aceeasi parte a planului, pe care consideram punctele M si N astfel incat $BN<AM$. Stiind ca $AC=2a\,\; ,AB=2\sqrt{3}\,\;, AM=a$ si ca $(MNC)$ face cu planul $(ABC)$ un unghi de $30^\circ$, sa se afle:
a)$A_{\triangle{MNC}}$
b) distanta de la punctul $B$ la planul $(MNC)$.
Gianina Busuioc, Niculai Solomon

2. Pentru un numar $n\in\Bbb{N}$, notam cu $u(n)$ cel mai mare numar prim mai mic sau egal cu n si $v(n)$ cel mai mic numar prim mai mare decat n. Sa se arate ca:
$\ds\frac{1}{u(2)v(2)}+\ds\frac{1}{u(3)v(3)}+\ds\frac{1}{u(4)v(4)}+\ldots+\frac{1}{u(2010)v(2010)}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2011}$.
Nicolae Staniloiu

3. Sa se arate ca exista o infinitate de numere irationale $x$ si $y$ cu proprietatea ca $x+y=xy \in\Bbb{N}$.
Claudiu Stefan Popa, Iasi

4 Aratati ca:
a) varfurilor unui cub li se pot atribui numerele 1 sau -1 astfel incat produsul numerelor atribuite varfurilor de pe fiecare fata sa fie egal cu -1;
b) pentru o prisma hexagonala regulata o astfel de atribuire nu este posibila.

Cecilia Deaconescu, Pitesti