Anul 2007

[mircea.lascu]

Clasa a 7-a:



1. Punctul $O$ este intersectia mediatoarelor laturilor triunghiului $\triangle{ABC}$. Fie D intersectia dreptei AO cu segmentul [BC]. Stiind ca $OD=BD=\ds\frac 13\cdot BC$, sa se afle masurile unghiurilor triunghiului $\triangle{ABC}$.
Virgil Tica, Vasile Tica

2. O urna contine bile albastre si bile rosii. O persoana a inventat urmatorul joc: extrage succesiv bile, pana cand constata ca, pentru prima data, numarul de bile albastre extrase este egal cu numarul de bile rosii extrase. La unul dintre jocuri constata ca in final au fost extrase 10 bile si ca nu exista 3 bile de aceeasi culoare extrase consecutiv. Sa se arate ca in aceasta situatie a cincea si a sasea bila extrase au culori diferite.
Dinu Serbanescu

3. Fie $a,b\in \Bbb{N}$ cu $b>a\ge 2$. Sa se arate ca daca numarul $a+k$ este prim cu numarul $b+k$, pentru orice $k=1,2,\ldots,b-a$, atunci a si b sunt numere consecutive.
Gheorghe Molea

4. Fie $n\in \Bbb{N}$ compus. Folosind eventual faptul ca $a\ge 1$ este divizor al lui $n$ daca si numai daca $\ds\frac na$ este divizor al lui n, sa se arate ca exista numerele naturale k>1 si $a_1,a_2,\ldots,a_k>1$ a.i. :
$a_1+a_2+\ldots+a_k=n\cdot\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \ldots+\frac{1}{a_k}\right)$.
Petre Batranetu


Clasa a 8-a:


1. Se considera numerele reale strict pozitive $x,\ y, z$ cu proprietatea ca :
$xy=\frac{z-x+1}{y}=\frac{z+1}{2}$.
Sa se arate ca unul dintre numere este media aritmetica a celorlalte doua.
Gheorghe Molea

2. Se considera un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=2\,\; si \,\; BC=\sqrt{3}$. Punctul M apartine laturii AD astfel ca $MD=2\cdot AM$ si punctul N este mijlocul segmentului AB. Pe planul dreptunghiului se ridica perpendiculara MP si alegem punctul Q pe segmentul MP a.i. masura unghiului planelor $(MPC)$ si $(NPC)$ sa fie de $45^\circ$, iar masura unghiului planelor $(MPC)$ si $(QNC)$ sa fie de $60^\circ$.
a) Sa se arate ca dreptele DN si CM sunt perpendiculare.
b) Sa se arate ca punctul Q este mijlocul segmentului MP.
Gheorghe Bumbacea

3. Opt numere naturale consecutive se impart in doua multimi disjuncte cu cate 4 elemente. Sa se arate ca daca suma patratelor elementelor din prima multime este egala cu suma patratelor elementelor din a doua multime atunci suma elementelor primei multimi este egala cu suma elementelor celei de-a doua.
Adrian Stoica

4. Punctele unui cerc se coloreaza cu verde sau galben a.i. orice triunghi echilateral inscris in cerc sa aiba exact doua varfuri colorate in galben. Sa se arate ca exista un patrat inscris in cerc care are cel putin trei varfuri colorate in galben.
Vasile Pop

[sunken rock]

Form 7, Pr. 1
Hint: take $E$ midpoint of $CD$, see that $\triangle ODE$ is equilateral ... $\angle A=60^\circ, \angle B=45^\circ$.

Best regards,
sunken rock

[pop sever]

Rezolvarea problemei 2 in fisierul atasat .